Narysuj zbiór na płaszczyźnie zespolonej

[kylercopeland]

Narysuj zbiór na płaszczyźnie zespolonej:
\(\displaystyle{ arg\left( \frac{i}{z} \right) = \frac{3 \pi }{4}, \left| \frac{\overline{z}}{(1+i)^{11}} \right| > 1}\)

Z pierwszego wyliczyłem że \(\displaystyle{ \varphi = \frac{7 \pi }{4}}\), wyliczyłem też mianownik drugiego \(\displaystyle{ -32+32i}\) ale nie wiem co zrobić dalej.

[kerajs]

Z pierwszego wyliczyłem że \(\displaystyle{ \varphi = \frac{7 \pi }{4}}\), wyliczyłem też mianownik drugiego \(\displaystyle{ -32+32i}\) ale nie wiem co zrobić dalej.

Kąt jest prawidłowy, a moduł dalej wyliczysz tak:
\(\displaystyle{ \left| \frac{\overline{z}}{(1+i)^{11}} \right| > 1\\
\frac{\left| \overline{z}\right| }{\left| \left( \sqrt{2}e ^{i \frac{ \pi }{4} } \right) ^{11} \right| } >1\\
\frac{\left| z\right| }{32 \sqrt{2} } >1\\
\left| z\right| >32 \sqrt{2}}\)
Pozostaje narysować półprostą spełniającą układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \varphi = \frac{7 \pi }{4} \\ \left| z\right| >32 \sqrt{2} \end{cases}}\)

[kylercopeland]

Czy będzie to wyglądać tak (zaznaczone na niebiesko)?

AU

byA5tA2.png (31.13 KiB) Przejrzano 122 razy

[kerajs]

Tak, to ta akwamarynowa półprosta.

Ty z wyniku \(\displaystyle{ -32+i32}\), a raczej \(\displaystyle{ \left| -32+i32\right|}\) dostajesz to samo:
\(\displaystyle{ \left| -32+i32\right|= \sqrt{(-32)^2+(32)^2}=32 \sqrt{2}}\)

[kylercopeland]

\(\displaystyle{ 1<\left| \overline{z} + i\right| \le 3}\)

Co zrobić w takim przypadku? Gdyby nie było sprzężenia to wszystko byłoby jasne.

[Premislav]

\(\displaystyle{ z=x+iy}\), no i dostajesz coś takiego:
\(\displaystyle{ 1<|x-i(y-1)|\le 3}\), czyli
\(\displaystyle{ 1<\sqrt{x^2+(y-1)^2}\le 3\\ 1<x^2+(y-1)^2\le 3}\)

Jest to taki pierścień na płaszczyźnie zespolonej (taki płaski pączek amerykański):
masz pan sobie koło domknięte o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) i środku w \(\displaystyle{ (0,1)}\), i od tego odejmujesz (w sensie różnicy zbiorów) koło domknięte o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) i środku w \(\displaystyle{ (0,1)}\).

[kylercopeland]

Dziękuję. Dwa pytanka. W drugiej linii liczysz moduł, skąd wiadomo że będzie on \(\displaystyle{ >1}\) i \(\displaystyle{ \le 3}\) ? Czy po prawej w ostatniej linii obliczeń nie powinno być \(\displaystyle{ 9}\) ?

[Premislav]

Ups, no tak, nie ma to jak kwiatki typu \(\displaystyle{ 3^2=3}\) (podobny błąd popełniłem kiedyś na maturze podstawowej). Sorry. Tak, powinno być
\(\displaystyle{ 1<\sqrt{x^2+(y-1)^2}\le 3\\ 1<x^2+(y-1)^2\le 9}\),
czyli promieniem tego większego koła jest \(\displaystyle{ 3}\), a nie \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\).

A skąd wiadomo, że ten moduł ma być większy od \(\displaystyle{ 1}\) i nie większy niż \(\displaystyle{ 3}\)? No z treści zadania.