Wiedząc, że ... jest pierwiastkiem równania rozwiąż je

[kylercopeland]

Wiedząc, że \(\displaystyle{ z _{1} =1+i}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ z^6-2z^5+(4+3i)z^4+(-4-6i)z^3+(4+12i)z^2-12iz+12i=0}\) rozwiąż je w dziedzinie zespolonej. Podzieliłem je schematem Hornera, ale dalej wyszło równanie 5 stopnia i nie bardzo wiem co z tym zrobić. Zgadywać pierwiastki?

[Zymon]

Jeżeli \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem wielomianu to \(\displaystyle{ \overline{z}}\) też nim jest.

[kylercopeland]

Tylko przy wielomianie o współczynnikach rzeczywistych a wydaje mi się, że ten taki nie jest.

[a4karo]

Jeżeli \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem wielomianu to \(\displaystyle{ \overline{z}}\) też nim jest.

A dlaczego? Czyżby współczynniki były rzeczywiste?

[Zymon]

Jeżeli \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem wielomianu to \(\displaystyle{ \overline{z}}\) też nim jest.

A dlaczego? Czyżby współczynniki były rzeczywiste?

Oczywiście, że nie. Głupotę napisałem, przyznaję się do błędu i sypię głowę popiołem, z "automatu" zapomniałem o tak ważnym założeniu.

[Dasio11]

Można spróbować skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych dla \(\displaystyle{ \ZZ,}\) tj.

Niech \(\displaystyle{ w(Z) = a_0 + a_1 Z + \ldots + a_n Z^n}\) będzie wielomianem o współczynnikach w \(\displaystyle{ \ZZ}\) i niech \(\displaystyle{ \alpha = \frac{p}{q},}\) gdzie \(\displaystyle{ p, q \in \ZZ}\) są względnie pierwsze (\(\displaystyle{ \ZZ}\) jest UFD, więc z tym pojęciem wszystko w porządku).

Wówczas jeśli \(\displaystyle{ w(\alpha) = 0,}\) to \(\displaystyle{ p \mid a_0}\) oraz \(\displaystyle{ q \mid a_n.}\)

W naszym przypadku \(\displaystyle{ a_6 = 1,}\) więc pierwiastkami w \(\displaystyle{ \QQ}\) mogą być tylko dzielniki \(\displaystyle{ a_0 = 12i,}\) a tych chyba nie ma zbyt wiele. (Znamy jeden pierwiastek \(\displaystyle{ z = 1+i,}\) więc dzielimy i będzie trochę łatwiej.)

[kylercopeland]

Możesz pokazać jak powinno wyglądać dalsze rozwiązanie?

[a4karo]

A może ty pokaż co dostales po podzieleniu przez jednomian?

[kylercopeland]

\(\displaystyle{ z^5+(-1+i)z^4+(2+3i)z^3+(-5-i)z^2+(6i)z-6-6i=0}\)