Funkcja holomorficzna

[Montes]

Załóżmy, że funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}\) jest holomorficzna. Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ g:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}\) zdefiniowana \(\displaystyle{ g(z) = \overline{f(\overline{z})}}\) jest holomorficzna. Próbowałem coś zwojować równaniami Cauchy'ego-Riemanna ale nic mi z tego nie wyszło.

PS. Jeżeli przyjmiemy, że \(\displaystyle{ f(z) = u(x, y) + iv(x, y)}\) to przez zapis \(\displaystyle{ \overline{f(\overline{z})}}\) mam na myśli \(\displaystyle{ \overline{f(\overline{z})} = u(x, -y) - iv(x,
-y)}\)

[janusz47]

I
\(\displaystyle{ g(z) = \overline{f(\overline{z}}).}\)

\(\displaystyle{ g'(p) = \lim_{z\to p}\frac{g(z) - g(p) }{z -p} =...= \overline{f(\overline{p})}}\)

II

\(\displaystyle{ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z - c)^{n}}\)

\(\displaystyle{ \overline{f(\overline{z}}) = ...= \sum_{n=0}^{\infty}\overline{a}_{n}(z - \overline{c})^{n}}\)

III

Twierdzenie Morery

\(\displaystyle{ \int_{\gamma}\overline{f(\overline{z})}dz = ...= -\int_{\overline{\gamma}}f(t)dt}\)

gdzie:

krzywa \(\displaystyle{ {\overline{\gamma}}\) jest odbiciem symetrycznym względem osi \(\displaystyle{ Ox}\) krzywej \(\displaystyle{ \gamma.}\)

[bartek118]

OK, zatem
\(\displaystyle{ \overline{f(\overline{z})} = u(x, -y) - iv(x, -y) = \tilde{u} + i \tilde{v},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \tilde{u}(x,y) = u(x,-y)}\) i \(\displaystyle{ \tilde{v}(x,y)=-v(x,-y)}\). Możemy zatem policzyć
\(\displaystyle{ \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} u(x,-y) = \frac{\partial }{\partial y} v(x,-y) = \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} (x,y).}\)
Analogicznie sprawdzisz, że drugie z równań C-R jest spełnione.

[Montes]

I
\(\displaystyle{ g(z) = \overline{f(\overline{z}}).}\)

\(\displaystyle{ g'(p) = \lim_{z\to p}\frac{g(z) - g(p) }{z -p} =...= \overline{f(\overline{p})}}\)

II

\(\displaystyle{ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z - c)^{n}}\)

\(\displaystyle{ \overline{f(\overline{z}}) = ...= \sum_{n=0}^{\infty}\overline{a}_{n}(z - \overline{c})^{n}}\)

III

Twierdzenie Morery

\(\displaystyle{ \int_{\gamma}\overline{f(\overline{z})}dz = ...= -\int_{\overline{\gamma}}f(t)dt}\)

gdzie:

krzywa \(\displaystyle{ {\overline{\gamma}}\) jest odbiciem symetrycznym względem osi \(\displaystyle{ Ox}\) krzywej \(\displaystyle{ \gamma.}\)

Mógłby Pan trochę rozwinąć swoje rozwiązania, dopiero zaczynam swoją przygodę z analizą zespoloną a Pańskie rozwiązania wydają mi się bardzo enigmatyczne.

OK, zatem
\(\displaystyle{ \overline{f(\overline{z})} = u(x, -y) - iv(x, -y) = \tilde{u} + i \tilde{v},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \tilde{u}(x,y) = u(x,-y)}\) i \(\displaystyle{ \tilde{v}(x,y)=-v(x,-y)}\). Możemy zatem policzyć
\(\displaystyle{ \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} u(x,-y) = \frac{\partial }{\partial y} v(x,-y) = \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} (x,y).}\)
Analogicznie sprawdzisz, że drugie z równań C-R jest spełnione.

Może źle pamiętam, ale argument ze sprawdzaniem równań C-R działa tylko w jedną stronę (jeżeli funkcja jest holomorficzna to równania C-R są spełnione). Żeby implikacja w drugą stronę była prawdziwa funkcja musi być ciągła, a w zadaniu nie mam nic powiedziane o ciągłośći. Chyba, że jest jakiś prosty dowód, że skoro \(\displaystyle{ f(z)}\) jest holomorficzna (w tym ciągła) to \(\displaystyle{ \overline{f(\overline{z})}}\) jest ciągła

[janusz47]

I i II

Podstawienia i własności sprzężenia i podwójnego sprzężenia.

III

Własności całki po krzywej.

[bartek118]

Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ f}\) jest holomorficzna, to \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) są różniczkowalne. Stąd łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ g}\) musi być różniczkowalna (w sensie rzeczywistym). To i warunki C-R dają różniczkowalność w sensie zespolonym.

[Montes]

Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ f}\) jest holomorficzna, to \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) są różniczkowalne. Stąd łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ g}\) musi być różniczkowalna (w sensie rzeczywistym). To i warunki C-R dają różniczkowalność w sensie zespolonym.

\(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) są różniczkowalne ale już ich pochodne nie muszą być ciągłe. A żeby skorzystać z C-R to \(\displaystyle{ u'}\) i \(\displaystyle{ v'}\) muszą być ciągłe.