Pierwiastek 4 stopnia z liczby zespolonej

[undecided]

Witam, czy ma ktoś może jakieś zadanie lub wyjaśniony przykład, bo nigdzie nie mogę znaleźć.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{1 -i\sqrt{3}} =...}\)

[undecided]

Właśnie problem z dalszym rozwiązaniem. Wiem tylko, że potrzebujemy pierwiastków i wyliczyć dla każdego wartość.

[janusz47]

Jaki jest wzór na pierwiastek arytmetyczny stopnia \(\displaystyle{ n\in \NN}\) z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\) ?

[cegielnik]

Zamień liczbę pod pierwiastkiem czwartego stopnia na liczbę w postaci wykładniczej:
\(\displaystyle{ z=|z| \cdot e ^{i\varphi}}\)
Wtedy pierwiastek czwartego stopnia liczysz tak, że dzielisz kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) przez \(\displaystyle{ 4}\) , a moduł liczby zespolonej \(\displaystyle{ |z|}\) pierwiastkujesz pierwiastkiem \(\displaystyle{ 4}\) stopnia.

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{z}= \sqrt[4]{|z|} \cdot e ^{ \frac{i\varphi}{4} }}\)

[janusz47]

Jaki jest moduł liczby \(\displaystyle{ z = 1 -i\sqrt{3}?}\)

Jaki jest argument \(\displaystyle{ \phi}\) tej liczby?

[Zymon]

Zamień liczbę pod pierwiastkiem czwartego stopnia na liczbę w postaci wykładniczej:
\(\displaystyle{ z=|z| \cdot e ^{i\varphi}}\)
Wtedy pierwiastek czwartego stopnia liczysz tak, że dzielisz kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) przez \(\displaystyle{ 4}\) , a moduł liczby zespolonej \(\displaystyle{ |z|}\) pierwiastkujesz pierwiastkiem \(\displaystyle{ 4}\) stopnia.

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{z}= \sqrt[4]{|z|} \cdot e ^{ \frac{i\varphi}{4} }}\)

Na oko to zgubiles 3 pierwiastki

[cegielnik]

Na oko to zgubiles 3 pierwiastki

Dziękuję za dostrzeżenie tego błędu. Rzeczywiście. Ten problem ma 4 rozwiązania.

[janusz47]

\(\displaystyle{ z^{4} = (re^{i \cdot \phi})^4.}\)

\(\displaystyle{ z^{4} = r^4e^{ 4i\phi}.}\)

\(\displaystyle{ r = \sqrt{1^2 +(-\sqrt{3})^2}= 2.}\)

\(\displaystyle{ \phi : (\cos(\phi) = \frac{1}{2} \wedge \sin(\phi) = -\frac{\sqrt{3}}{2})\rightarrow \phi =\frac{5}{3}\pi.}\)

\(\displaystyle{ r^4 = 2 \rightarrow r = \sqrt[4]{2}.}\)

\(\displaystyle{ e^{4i \phi} = e^{\frac{5}{3}\pi + 2k\pi i }.}\)

\(\displaystyle{ 4\phi = \frac{5}{3}\pi + 2k\pi, \ \ \phi = \frac{5}{12}\pi + \frac{1}{2}k\pi.}\)

\(\displaystyle{ k=0: \phi = \frac{5}{12}\pi}\)

\(\displaystyle{ k=1: \phi = \frac{5}{12}\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{11}{12}\pi}\)

\(\displaystyle{ k= 2: \phi = \frac{5}{12}\pi + \pi = \frac{17}{12}\pi}\)

\(\displaystyle{ k= 3: \phi = \frac{5}{12}\pi + \frac{3}{2}\pi = \frac{23}{12}\pi.}\)

\(\displaystyle{ z_{0}= \sqrt[4]{2}e^{i\cdot \frac{5}{12}\pi}}\)

\(\displaystyle{ z_{1}= \sqrt[4]{2}e^{i\cdot \frac{11}{12}\pi}}\)

\(\displaystyle{ z_{2}= \sqrt[4]{2}e^{i\cdot \frac{17}{12}\pi}}\)

\(\displaystyle{ z_{3}= \sqrt[4]{2}e^{i\cdot \frac{23}{12}\pi}.}\)

[Zymon]

Skoro już pomagamy, to może od razu potem koledze wzór, który przydaje się w tego typu zadaniach

\(\displaystyle{ \sqrt[m]{z}= \sqrt[m]{|z|}\left( \cos\left( \frac{\phi+2k\pi}{m}\right)+ i\sin\left( \frac{\phi+2k\pi}{m}\right)\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ m \in \NN}\) i \(\displaystyle{ k \in \left\{0, \ 1, \ ... \ m-1\right\}}\)