Pierwiastek 4 stopnia z liczby zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 2 lut 2018, o 18:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Pierwiastek 4 stopnia z liczby zespolonej
Witam, czy ma ktoś może jakieś zadanie lub wyjaśniony przykład, bo nigdzie nie mogę znaleźć.
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 2 lut 2018, o 18:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Re: Pierwiastek 4 stopnia z liczby zespolonej
Właśnie problem z dalszym rozwiązaniem. Wiem tylko, że potrzebujemy pierwiastków i wyliczyć dla każdego wartość.
Re: Pierwiastek 4 stopnia z liczby zespolonej
Zamień liczbę pod pierwiastkiem czwartego stopnia na liczbę w postaci wykładniczej:
\(\displaystyle{ z=|z| \cdot e ^{i\varphi}}\)
Wtedy pierwiastek czwartego stopnia liczysz tak, że dzielisz kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) przez \(\displaystyle{ 4}\) , a moduł liczby zespolonej \(\displaystyle{ |z|}\) pierwiastkujesz pierwiastkiem \(\displaystyle{ 4}\) stopnia.
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{z}= \sqrt[4]{|z|} \cdot e ^{ \frac{i\varphi}{4} }}\)
\(\displaystyle{ z=|z| \cdot e ^{i\varphi}}\)
Wtedy pierwiastek czwartego stopnia liczysz tak, że dzielisz kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) przez \(\displaystyle{ 4}\) , a moduł liczby zespolonej \(\displaystyle{ |z|}\) pierwiastkujesz pierwiastkiem \(\displaystyle{ 4}\) stopnia.
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{z}= \sqrt[4]{|z|} \cdot e ^{ \frac{i\varphi}{4} }}\)
Ostatnio zmieniony 2 lut 2018, o 20:36 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 140
- Rejestracja: 3 lis 2017, o 10:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: Pierwiastek 4 stopnia z liczby zespolonej
Na oko to zgubiles 3 pierwiastkicegielnik pisze:Zamień liczbę pod pierwiastkiem czwartego stopnia na liczbę w postaci wykładniczej:
\(\displaystyle{ z=|z| \cdot e ^{i\varphi}}\)
Wtedy pierwiastek czwartego stopnia liczysz tak, że dzielisz kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) przez \(\displaystyle{ 4}\) , a moduł liczby zespolonej \(\displaystyle{ |z|}\) pierwiastkujesz pierwiastkiem \(\displaystyle{ 4}\) stopnia.
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{z}= \sqrt[4]{|z|} \cdot e ^{ \frac{i\varphi}{4} }}\)
Re: Pierwiastek 4 stopnia z liczby zespolonej
Dziękuję za dostrzeżenie tego błędu. Rzeczywiście. Ten problem ma 4 rozwiązania.Na oko to zgubiles 3 pierwiastki
Ostatnio zmieniony 2 lut 2018, o 22:00 przez cegielnik, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Pierwiastek 4 stopnia z liczby zespolonej
\(\displaystyle{ z^{4} = (re^{i \cdot \phi})^4.}\)
\(\displaystyle{ z^{4} = r^4e^{ 4i\phi}.}\)
\(\displaystyle{ r = \sqrt{1^2 +(-\sqrt{3})^2}= 2.}\)
\(\displaystyle{ \phi : (\cos(\phi) = \frac{1}{2} \wedge \sin(\phi) = -\frac{\sqrt{3}}{2})\rightarrow \phi =\frac{5}{3}\pi.}\)
\(\displaystyle{ r^4 = 2 \rightarrow r = \sqrt[4]{2}.}\)
\(\displaystyle{ e^{4i \phi} = e^{\frac{5}{3}\pi + 2k\pi i }.}\)
\(\displaystyle{ 4\phi = \frac{5}{3}\pi + 2k\pi, \ \ \phi = \frac{5}{12}\pi + \frac{1}{2}k\pi.}\)
\(\displaystyle{ k=0: \phi = \frac{5}{12}\pi}\)
\(\displaystyle{ k=1: \phi = \frac{5}{12}\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{11}{12}\pi}\)
\(\displaystyle{ k= 2: \phi = \frac{5}{12}\pi + \pi = \frac{17}{12}\pi}\)
\(\displaystyle{ k= 3: \phi = \frac{5}{12}\pi + \frac{3}{2}\pi = \frac{23}{12}\pi.}\)
\(\displaystyle{ z_{0}= \sqrt[4]{2}e^{i\cdot \frac{5}{12}\pi}}\)
\(\displaystyle{ z_{1}= \sqrt[4]{2}e^{i\cdot \frac{11}{12}\pi}}\)
\(\displaystyle{ z_{2}= \sqrt[4]{2}e^{i\cdot \frac{17}{12}\pi}}\)
\(\displaystyle{ z_{3}= \sqrt[4]{2}e^{i\cdot \frac{23}{12}\pi}.}\)
\(\displaystyle{ z^{4} = r^4e^{ 4i\phi}.}\)
\(\displaystyle{ r = \sqrt{1^2 +(-\sqrt{3})^2}= 2.}\)
\(\displaystyle{ \phi : (\cos(\phi) = \frac{1}{2} \wedge \sin(\phi) = -\frac{\sqrt{3}}{2})\rightarrow \phi =\frac{5}{3}\pi.}\)
\(\displaystyle{ r^4 = 2 \rightarrow r = \sqrt[4]{2}.}\)
\(\displaystyle{ e^{4i \phi} = e^{\frac{5}{3}\pi + 2k\pi i }.}\)
\(\displaystyle{ 4\phi = \frac{5}{3}\pi + 2k\pi, \ \ \phi = \frac{5}{12}\pi + \frac{1}{2}k\pi.}\)
\(\displaystyle{ k=0: \phi = \frac{5}{12}\pi}\)
\(\displaystyle{ k=1: \phi = \frac{5}{12}\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{11}{12}\pi}\)
\(\displaystyle{ k= 2: \phi = \frac{5}{12}\pi + \pi = \frac{17}{12}\pi}\)
\(\displaystyle{ k= 3: \phi = \frac{5}{12}\pi + \frac{3}{2}\pi = \frac{23}{12}\pi.}\)
\(\displaystyle{ z_{0}= \sqrt[4]{2}e^{i\cdot \frac{5}{12}\pi}}\)
\(\displaystyle{ z_{1}= \sqrt[4]{2}e^{i\cdot \frac{11}{12}\pi}}\)
\(\displaystyle{ z_{2}= \sqrt[4]{2}e^{i\cdot \frac{17}{12}\pi}}\)
\(\displaystyle{ z_{3}= \sqrt[4]{2}e^{i\cdot \frac{23}{12}\pi}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 140
- Rejestracja: 3 lis 2017, o 10:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: Pierwiastek 4 stopnia z liczby zespolonej
Skoro już pomagamy, to może od razu potem koledze wzór, który przydaje się w tego typu zadaniach
\(\displaystyle{ \sqrt[m]{z}= \sqrt[m]{|z|}\left( \cos\left( \frac{\phi+2k\pi}{m}\right)+ i\sin\left( \frac{\phi+2k\pi}{m}\right)\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ m \in \NN}\) i \(\displaystyle{ k \in \left\{0, \ 1, \ ... \ m-1\right\}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[m]{z}= \sqrt[m]{|z|}\left( \cos\left( \frac{\phi+2k\pi}{m}\right)+ i\sin\left( \frac{\phi+2k\pi}{m}\right)\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ m \in \NN}\) i \(\displaystyle{ k \in \left\{0, \ 1, \ ... \ m-1\right\}}\)