Oblicz wartość wyrażenia

[levalive]

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3}+i}{1-i} \right) ^{30}}\) Jak to rozwiązać?

[Zymon]

Zamień wyrażenie pod potęgą na postać trygonometryczną (można na dwa sposoby, na oko nie widzę, którym łatwiej) a następnie skorzystaj ze wzoru de Moivre'a

[bartek118]

Zdaje się, że najprościej będzie podnieść do tej potęgi osobno licznik i osobno mianownik.

[levalive]

Wyszło mi coś takiego. \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3}-1+i\sqrt{3}+i\right) ^{ \frac{1}{2} }}\)

Czyli teraz mam po prostu wyciągnąć z tego moduł tak jak poniżej tak?

\(\displaystyle{ \sqrt{\left( \frac{ \sqrt{3}-1}{2}\right)^{2} +\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)^{2} } }}\)

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3}+i}{1-i} \right) ^{30}= \frac{\left( \left( \sqrt{3}+i \right)^3\right)^{10} }{\left( \left(1-i \right)^2\right)^{15} }= \frac{\left( 8i\right)^{10} }{(-2i)^{15}}=...}\)

Teraz już łatwo to policzyć.

[levalive]

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3}+i}{1-i} \right) ^{30}= \frac{\left( \left( \sqrt{3}+i \right)^3\right)^{10} }{\left( \left(1-i \right)^2\right)^{15} }= \frac{\left( 8i\right)^{10} }{(-2i)^{15}}=...}\)

Teraz już łatwo to policzyć.

No nie tak łatwo. Mam teraz osobno policzyć postać trygonometryczną dla licznika i mianownika czy najpierw usunąć mianownik i dopiero potem policzyć?

[Janusz Tracz]

Policz osobno licznik i mianownik. Pamiętając że:
\(\displaystyle{ i^2=-1}\)
\(\displaystyle{ i^3=-i}\)
\(\displaystyle{ i^4=1}\)

\(\displaystyle{ L=(8i)^{10}=8^{10}i^{10}=8^{10}i^{8}i^2=-8^{10}}\)

\(\displaystyle{ M=(-2i)^{15}=-2^{15}i^{15}=-2^{15}i^{12}i^3=2^{15}i}\)

Czyli

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3}+i}{1-i} \right) ^{30}= \frac{\left( \left( \sqrt{3}+i \right)^3\right)^{10} }{\left( \left(1-i \right)^2\right)^{15} }= \frac{\left( 8i\right)^{10} }{(-2i)^{15}}= \frac{-8^{10}}{2^{15}i}=2^{15}i}\)

Ostatnie przejście jest konsekwencją tego że \(\displaystyle{ \frac{1}{i}=-i}\) oraz spostrzeżenia że \(\displaystyle{ 8^{10}=2^{30}}\). Ostatecznie mamy więc:

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3}+i}{1-i} \right) ^{30}=2^{15}i}\)

[levalive]

O dzięki wielkie!