Zilustruj następujący zbiór na płaszczyźnie zespolonej

[kylercopeland]

Zilustruj następujący zbiór na płaszczyźnie zespolonej:

\(\displaystyle{ \left| z+\left( \frac{1-i \sqrt{3} }{ \sqrt{2} + i \sqrt{2} } \right) ^{36} \right| \ge \left| z+i\right|}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1-i \sqrt{3} }{ \sqrt{2} + i \sqrt{2} } \right) ^{36} =\left( \frac{2e ^{i(-60 ^{\circ} )} }{2e ^{i(45 ^{\circ}) } }\right) ^{36}=\left( e ^{i(-105 ^{\circ} )}\right) ^{36} =e ^{i(-3780 ^{\circ} )} =e ^{i(180 ^{\circ} )}=-1}\)
Poradzisz sobie dalej?

[kylercopeland]

Tak, dziękuję. Możesz mi jeszcze podpowiedzieć jak zrobić kolejne?

\(\displaystyle{ z\overline{z}= \frac{\left| z\right| }{\left| \overline{z}\right| }}\)

[kerajs]

Niech \(\displaystyle{ z=a+ib}\). wtedy:
\(\displaystyle{ (a+ib)(a-ib)= \frac{ \sqrt{a^2+b^2} }{\sqrt{a^2+b^2} } \\
a^2+b^2=1}\)
To okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ 0+i0}\) i promieniu 1.

[kylercopeland]

Super, dziękuję znowu.
Kolejne pytanko jak zabrać się za rozwiązanie takiego równania? \(\displaystyle{ \sqrt[3]{\left( 2-2i\right) ^{9} }}\). Chyba nie mogę od razu wyliczyć że będzie to \(\displaystyle{ \left( 2-2i\right) ^{3}}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{\left( 2-2i\right) ^{9} }=\left( 2-2i\right) ^{3} \cdot \sqrt[3]{i} \\
z_1=\left( 2-2i\right) ^{3} \cdot 1\\
z_2=\left( 2-2i\right) ^{3} \cdot ( \frac{-1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2} )\\
z_3=\left( 2-2i\right) ^{3} \cdot ( \frac{-1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} )}\).

[kylercopeland]

Skąd biorą się te rozwiązania zaczynając od \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\) aż po \(\displaystyle{ \frac{-1}{2}-i \frac{\sqrt{3} }{2}}\)?

[kerajs]

Równanie \(\displaystyle{ z= sqrt[n]{w}}\) jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ z^n-w=0}\) które, zgodnie z podstawowym twierdzeniem algebry ma n rozwiązań. Dlatego pierwiastek n-tego stopnia musi mieć n różnych wyników.
Ty znalazłeś jedno, a pozostałe można dostać przez pomnożenie znanego rozwiązania przez różne pierwiastki zespolone z \(\displaystyle{ 1}\). Szukasz je klasycznie wykorzystując wzór de Moivra:

\(\displaystyle{ 1=cosleft( 0+k2 pi
ight) +isinleft( 0+k2 pi
ight)\
z= sqrt[3]{1} = sqrt[3]{cosleft( 0+k2 pi
ight) +isinleft( 0+k2 pi
ight)} =
cosleft( frac{ k2 pi}{2}
ight) +isinleft( frac{ k2 pi}{2}
ight)\
k=0 Rightarrow z_0=.....\
k=1 Rightarrow z_1=.....\
k=2 Rightarrow z_2=.....}\)
Sam oblicz postać trygonometryczną i ogólną tych rozwiązań.

Taki sposób j.w. sugeruję Ci w rozwiązaniu 2) tematu 429525.htm