Rozwiąż równanie

[kylercopeland]

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ z^{4}- \left(\frac{3i-1}{2i} \right)^{12}=0}\)

Miałem pomysł żeby wyliczyć postać trygonometryczną wyrażenia w nawiasie i podnieść do potęgi, ale moduł wychodzi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{10} }{2}}\) i nie wiem co z tym dalej zrobić.

[kerajs]

1)
\(\displaystyle{ z^{4}- \left(\frac{3i-1}{2i} \right)^{12}=0}\)
\(\displaystyle{ \left( z^{2}- \left(\frac{3i-1}{2i} \right)^{6}\right) \left( z^{2}+ \left(\frac{3i-1}{2i} \right)^{6}\right)=0}\)
\(\displaystyle{ \left( z- \left(\frac{3i-1}{2i} \right)^{3}\right)\left( z+ \left(\frac{3i-1}{2i} \right)^{3}\right)\left( z- i \left(\frac{3i-1}{2i} \right)^{3}\right)\left( z+i \left(\frac{3i-1}{2i} \right)^{3}\right)=\\=0}\)

2)
\(\displaystyle{ z= \left(\frac{3i-1}{2i} \right)^{3}\cdot \sqrt[4]{1} \\
z_1=\left(\frac{3i-1}{2i} \right)^{3} \cdot 1 \\
z_2=...\\
z_3=...\\
z_4=...}\)

[kylercopeland]

Dziękuję.
Kolejny przykład: \(\displaystyle{ (\overline{z}) ^{6} = -8z\left| z\right| \overline{z}}\)

Wstawiłem \(\displaystyle{ z=\left| z\right| e ^{i\varphi}, \overline{z}=\left| z\right| e ^{-i\varphi}}\) i doszedłem do: \(\displaystyle{ \left| z\right| ^{6} e ^{-6i\varphi}=-8\left| z\right| ^{3}}\)
Z tego mam pierwsze rozwiązanie \(\displaystyle{ z=0}\), dzielę obustronnie przez \(\displaystyle{ \left| z\right| ^{3}}\)
Otrzymuję \(\displaystyle{ \left| z\right| ^{3} e ^{-6i\varphi}=-8}\) i tutaj nie wiem co dalej zrobić.

[bartek118]

Widać, że \(\displaystyle{ |z| = 2}\) i \(\displaystyle{ \varphi}\) jest takie, aby wylądować na ujemnej półosi rzeczywistej, czyli....?

[kerajs]

Można też liczyć mechanicznie:
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{3} e ^{-6i\varphi}=-8\\
\left| z\right| ^{3} e ^{-6i\varphi}=8e^{i( \pi +k2 \pi )}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left| z\right| ^{3}=8 \\ -6\varphi= \pi +k2 \pi \end{cases}}\)