Znajdź wszystkie liczby zespolone

[mean]

\(\displaystyle{ \left( 1 + i \sqrt{3} \right) z^{4} = -1}\)
czy mógłby ktoś pomóc jak znaleźć wszystkie rozwiązania z ?

[a4karo]

OBlicz \(\displaystyle{ \frac{-1}{1+i\sqrt3}}\)

[mean]

ale jak ?

[Premislav]

Np. przez sprzężenie:
\(\displaystyle{ \frac{-1}{1+i\sqrt3}
= \frac{-(1-i\sqrt3)}{4} =-\frac{1}{4}+i \frac{\sqrt3}{4}=\frac{1}{2}\left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}2\right)=\frac{1}{2}\left( \cos \left( \frac{2}{3}\pi+2k\pi\right)+i\sin \left( \frac{2}{3}\pi+2k\pi\right) \right)}\)
Masz więc równanie
\(\displaystyle{ z^4=\frac{1}{2}\left( \cos \left( \frac{2}{3}\pi+2k\pi\right)+i\sin \left( \frac{2}{3}\pi+2k\pi\right) \right)}\),
promień normalnie pierwiastkujesz, a argumenty kątowe dzielisz przez \(\displaystyle{ 4}\).
Rozwiązania będą cztery.

[mean]

czemu 4 rozwiązania ?

[Premislav]

Chociażby z zasadniczego twierdzenia algebry (licząc z ewentualnymi krotnościami), wielomian \(\displaystyle{ W(z)=z^4-\frac{1}{2}\left( \cos \left( \frac{2}{3}\pi+2k\pi\right)+i\sin \left( \frac{2}{3}\pi+2k\pi\right) \right)}\) jest czwartego stopnia, zatem ma cztery pierwiastki (jak wspomniałem, włącznie z ewentualnymi krotnościami pierwiastków wielokrotnych).


Ogólnie jeśli masz równanie \(\displaystyle{ z^n=r\left( \cos\left( \phi+2k\pi\right)+i\sin\left( \phi+2k\pi\right) \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ r>0}\), to otrzymujesz
\(\displaystyle{ z=\sqrt[n]{r}\left( \cos\left( \frac{\phi+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left( \frac{\phi+2k\pi}{n}\right) \right),
\\ k=0,1\ldots n-1}\),
to się bierze ze wzoru de Moivre'a.