Witam. Proszę o pomoc z narysowaniem tych zbiorów na płaszczyźnie zespolonej:
a) \(\displaystyle{ A=\{z \in \CC : \Im(2iz+3+2i) \le 5\}}\)
b) \(\displaystyle{ B=\{z \in \CC : |z+1+2i|<|z-3-2i| \le 6\}}\)
c) \(\displaystyle{ C=\{z \in \CC : \arg(3z) \ge \frac{11}{9} \pi \}}\)
Odpowiedzi:
a) \(\displaystyle{ \Im(2iz+3+2i) \le 5}\)
\(\displaystyle{ 2z+2 \le 5 \\ 2x+2yi \le 3}\)
i dalej nie wiem co robić...
b) \(\displaystyle{ |z-(-1-2i)|<|z-(3+2i)| \le 6}\)
Umiałbym narysować gdyby nie ta szóstka.
c) umiałbym narysować gdyby nie ta trójka przy \(\displaystyle{ z}\) .
Czy można po prostu podzielić wszystko przez \(\displaystyle{ 3}\) ?
czyli: \(\displaystyle{ \arg(z) \ge \frac{11}{27} \pi}\) ?
Proszę bardzo o pomoc.
Jak narysować na płaszczyźnie takie zbiory
-
PoweredDragon
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Jak narysować na płaszczyźnie takie zbiory
W a) zrobiłeś źle. Zastosuj \(\displaystyle{ z = x+yi}\) już wewnątrz funkcji \(\displaystyle{ Im}\) .
W drugim masz:
\(\displaystyle{ \left| z+1+2i\right| = \left| x+yi+1+2i \right| = \left| (x+1)+(y+2) \right| = \sqrt{(x+1)^2+(y+2)^2} \le \left|z-3-2i \right| = \left|x+yi-3-2i \right| = \left| (x-3)+(y-2)i \right| = \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2} \le 6}\)
Jak podniesiesz do kwadratu, to masz nierówność \(\displaystyle{ A < B \le C}\) , gdzie nierównosć \(\displaystyle{ B \le C}\) , to nierówność koła z brzegiem (nawet wiki to powie). ) Rozpatrujesz osobno obydwie nierówności, a potem bierzesz część wspólną.
A co do ostatniego:
Niech \(\displaystyle{ a+bi = w = 3z = 3(c+di)}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ a + bi = 3(c+di) \\
a+bi = 3c+3di \\
a = 3c \\
b = 3d \\
\left| w \right| = \sqrt{a^2+b^2} = 3 \sqrt{c^2+d^2} \\
\cos \arg(w)= \frac{a}{\left|w \right|} = \frac{3c}{3 \sqrt{c^2+d^2}} = \frac{c}{\sqrt{c^2+d^2}} = \cos \arg{(z)} \\
\sin \arg(w)= \frac{b}{\left|w \right|} = \frac{3d}{3 \sqrt{c^2+d^2}} = \frac{d}{\sqrt{c^2+d^2}} = \sin \arg{(z)}}\)
Jakieś wnioski co do \(\displaystyle{ \arg (3z) = \arg (w)}\) ?
W drugim masz:
\(\displaystyle{ \left| z+1+2i\right| = \left| x+yi+1+2i \right| = \left| (x+1)+(y+2) \right| = \sqrt{(x+1)^2+(y+2)^2} \le \left|z-3-2i \right| = \left|x+yi-3-2i \right| = \left| (x-3)+(y-2)i \right| = \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2} \le 6}\)
Jak podniesiesz do kwadratu, to masz nierówność \(\displaystyle{ A < B \le C}\) , gdzie nierównosć \(\displaystyle{ B \le C}\) , to nierówność koła z brzegiem (nawet wiki to powie). ) Rozpatrujesz osobno obydwie nierówności, a potem bierzesz część wspólną.
A co do ostatniego:
Niech \(\displaystyle{ a+bi = w = 3z = 3(c+di)}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ a + bi = 3(c+di) \\
a+bi = 3c+3di \\
a = 3c \\
b = 3d \\
\left| w \right| = \sqrt{a^2+b^2} = 3 \sqrt{c^2+d^2} \\
\cos \arg(w)= \frac{a}{\left|w \right|} = \frac{3c}{3 \sqrt{c^2+d^2}} = \frac{c}{\sqrt{c^2+d^2}} = \cos \arg{(z)} \\
\sin \arg(w)= \frac{b}{\left|w \right|} = \frac{3d}{3 \sqrt{c^2+d^2}} = \frac{d}{\sqrt{c^2+d^2}} = \sin \arg{(z)}}\)
Jakieś wnioski co do \(\displaystyle{ \arg (3z) = \arg (w)}\) ?