Równanie w ciele liczb zespolonych

[iyhun]

\(\displaystyle{ z^3=(\frac{1-i\sqrt(3)}{-1+i})^{102}}\)
Pytanie, czy mogę to zapisać \(\displaystyle{ z=(\frac{1-i\sqrt(3)}{-1+i})^{34}}\)?

[Premislav]

Nie, to tylko jedna z możliwości. Możesz napisać, że z tego wynika
\(\displaystyle{ z=\left(\frac{1-i\sqrt(3)}{-1+i}\right)^{34}\xi_k , \ k\in\left\{ 1,2,3\right\}}\),
gdzie \(\displaystyle{ \xi_k}\) to pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\).

-- 21 sty 2018, o 13:40 --

A dalej po prostu z de Moivre'a rozwiązujesz. No i trzeba obliczyć te pierwiastki z \(\displaystyle{ 1}\), ale to nie jest trudne, jeden z nich to \(\displaystyle{ 1=\cos 0+i\sin 0}\), drugi powstanie przez obrót wokół zera przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\), potem ten trzeci – kolejny obrót, itd.
Będą więc one postaci
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{2m\pi}{3}\right)+i\sin\left( \frac{2m\pi}{3}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ m \in\left\{ 0,1,2\right\}}\). W sumie wygodniej byłoby numerować te pierwiastki zespolone od zera, to wtedy można napisać
\(\displaystyle{ \xi_k=\cos\left( \frac{2k\pi}{3}\right)+i\sin\left( \frac{2k\pi}{3}\right), \ k\in\left\{ 0,1,2\right\}}\)

[iyhun]

\(\displaystyle{ x_{k}=cos\frac{2k\pi}{3} + isin\frac{2k\pi}{3} \\
\xi_{0}=\cos 0+i\sin 0=1 \\
\xi_{1}=cos\frac{2\pi}{3}+ isin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\xi_{2}=cos\frac{4\pi}{3}+ isin\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \\}\)
Obliczyłem pierwiastki z 1, ale co dalej i do czego mam to użyć?
Czy mam pozbyć się z mianownika\(\displaystyle{ \frac{1-i\sqrt(3)}{-1+i}\right}\) liczby urojonej poprzez sprzężenie, a potem zapisać to w postaci trygonometrycznej i wstawić do wzoru de Moivre'a?
Nie mam praktyki w tych liczbach zespolonych i nie wiem jak postępować.

[Premislav]

Można to zrobić od razu z użyciem postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ 1-i\sqrt{3}=2\left( \cos \left(\frac {5\pi} 3}\right) +i\sin\left( \frac {5\pi} 3\right) \right) \\ -1+i=\sqrt{2}\left( \cos \left(\frac {3\pi} 4\right)+i\sin \left(\frac {3\pi} 4\right)\right)}\)
Moduły dzielimy „normalnie" jak w \(\displaystyle{ \RR}\), a argumenty kątowe odejmujemy. Tj.
\(\displaystyle{ \left(\frac{1-i\sqrt(3)}{-1+i}\right)^{34}=\left( \sqrt{2}\left( \cos\left( \frac{11\pi}{12}\right)+i\sin\left( \frac{11\pi}{12}\right) \right) \right)^{34}}\)
i dalej lecimy ze wzoru de Moivre'a.

Ale mianownika można się szybciej „pozbyć", co ułatwiłoby mocno obliczenia, a mianowicie zauważmy, że
\(\displaystyle{ (-1+i)^{2}=-2i}\), więc \(\displaystyle{ (-1+i)^{34}=(2i)^{17}=2^{17}i(i^4)^4=2^{17}i}\),
tj.
\(\displaystyle{ \left(\frac{1-i\sqrt{3}}{-1+i}\right)^{34}=-i \cdot \frac 1{2^{17}}\left( \cos \left(\frac {5\pi} 3}\right) +i\sin\left( \frac {5\pi} 3\right) \right)^{34}}\)

A te pierwiastki z \(\displaystyle{ 1}\) pomnożysz przez to, co Ci wyjdzie z tego
\(\displaystyle{ -i \cdot \frac 1{2^{17}}\left( \cos \left(\frac {5\pi} 3}\right) +i\sin\left( \frac {5\pi} 3\right) \right)^{34}}\),
żeby otrzymać wszystkie trzy rozwiązania.

[iyhun]

\(\displaystyle{ \left(\frac{1-i\sqrt(3)}{-1+i}\right)^{34}=\left( \sqrt{2}\left( \cos\left( \frac{11\pi}{12}\right)+i\sin\left( \frac{11\pi}{12}\right) \right) \right)^{34}}\)
\(\displaystyle{ 2^{17}\left(cos\left(\frac{187\pi}{6}\right)+isin\left(\frac{187\pi}{6}\right)\right) = 2^{17}\left(cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)+isin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right) =
2^{17}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)}\)

Skoro
\(\displaystyle{ (-1+i)^{2}=-2i}\) to \(\displaystyle{ (-1+i)^{34}=((-1+i)^{2})^{17} = (-2i)^{17}}\)
Czy tutaj \(\displaystyle{ (-1+i)^{34}=(2i)^{17}=2^{17}i(i^4)^4=2^{17}i}\)
nie powinno być
\(\displaystyle{ (-1+i)^{34}=(-2i)^{17}=(-2i)^{17}i(i^4)^4=(-2)^{17}i}\)

[Premislav]

Faktycznie, zgubiłem minus. Ale tam też się pomyliłeś pod koniec w zapisie, choć to szczegół.

No to teraz rozwiązaniami równania będą

\(\displaystyle{ 2^{17}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)\cdot \xi_0\\ 2^{17}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right) \cdot \xi_1\\2^{17}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)\cdot \xi_2}\)
gdzie \(\displaystyle{ \xi_0, \ \xi_1, \ \xi_2}\) jak wyżej.

[iyhun]

Faktycznie, zgubiłem minus. Ale tam też się pomyliłeś pod koniec w zapisie, choć to szczegół.

O jedno 'i' za dużo
\(\displaystyle{ (-1+i)^{34}=(-2i)^{17}=(-2)^{17}i(i^4)^4=(-2)^{17}i}\)

No to teraz rozwiązaniami równania będą
\(\displaystyle{ 2^{17}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)\cdot \xi_0\\
2^{17}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right) \cdot \xi_1\\2^{17}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)\cdot \xi_2}\)
gdzie \(\displaystyle{ \xi_0, \ \xi_1, \ \xi_2}\) jak wyżej.

\(\displaystyle{ z_{0}=2^{17}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)\cdot \xi_0 = 2^{17}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right) \\
z_{1}=2^{17}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)\cdot \xi_1 = 2^{17}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)\\
z_{2}=2^{17}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)\cdot \xi_2 = i2^{17}}\)

Więc jeżeli mam równanie w którym \(\displaystyle{ z^{n}}\) to ma ono \(\displaystyle{ n}\) rozwiązań. Na początku szukam postaci trygonometrycznej, a później szukam rozwiązań korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ x_{k}=\sqrt[n]{|z|}\left(cos\left(\frac{\psi +2k\pi}{n}\right) + isin\left(\frac{\psi +2k\pi}{n}\right)\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ k\in \{0,1,...,n-1\}}\) I ostatecznymi wynikami są równania \(\displaystyle{ z_{k}=|z| \cdot \xi_{k}}\)
@edit
Chociaż mam wątpliwości co do \(\displaystyle{ x_{k}=\sqrt[n]{|z|}\left(cos\left(\frac{\psi +2k\pi}{n}\right) + isin\left(\frac{\psi +2k\pi}{n}\right)\right)}\), czemu \(\displaystyle{ \psi=0}\) oraz \(\displaystyle{ |z|=1}\)? Chyba, że to ja namieszałem z tym wzorem... W takim razie skąd \(\displaystyle{ \xi_k=\cos\left( \frac{2k\pi}{3}\right)+i\sin\left( \frac{2k\pi}{3}\right), \ k\in\left\{ 0,1,2\right\}}\)
@edit
Ok, więc chyba jednak nie ten wzór. W zeszycie mam coś takiego:
\(\displaystyle{ z^{n}=w^{n}}\) - posiada n rozwiązań
\(\displaystyle{ z=w}\) - jedno z rozwiązań (czyli to co podałem w pierwszym poście)
\(\displaystyle{ z^{n}=w^{n} \cdot \xi^{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ \xi^{n}=1}\)
\(\displaystyle{ \xi=cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right) +isin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\{0,1,...,n-1\}}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=w \\
z_{2}=w \cdot \xi_{1} \\
z_{3}=w \cdot \xi_{2}}\)
itd...
Czyli rozumiem, że przy tego typu zadaniu \(\displaystyle{ z^n}\) przyjmuję \(\displaystyle{ \xi^{n}=1}\) stąd szukałem \(\displaystyle{ n}\) rozwiązań dla \(\displaystyle{ 1}\)?
@edit
Dobra znowu coś powaliłem, bo przecież \(\displaystyle{ 3\ne102}\), więc nie mogę skorzystać z \(\displaystyle{ z^{n}=w^{n}}\)

[Premislav]

Ale możesz skorzystać z czegoś takiego:
\(\displaystyle{ z^3=\left( \left(\frac{1-i\sqrt{3}}{-1+i}\right)^{34}
\right)^3}\)
Wtedy \(\displaystyle{ n=3}\) w tym Twoim wzorku, zaś \(\displaystyle{ w=\left(\frac{1-i\sqrt{3}}{-1+i}\right)^{34}}\).
No i otrzymujesz stąd właśnie, że
\(\displaystyle{ z=\left(\frac{1-i\sqrt{3}}{-1+i}\right)^{34}\cdot \left( \
cos\left( \frac{2k\pi}{3} \right)+i\sin\left( \frac{2k\pi}{3} \right) \right)}\)
dla \(\displaystyle{ k=0,1,2}\).
Ale oczywiście to \(\displaystyle{ \left(\frac{1-i\sqrt{3}}{-1+i}\right)^{34}}\) trzeba przedstawić w prostszej postaci, i to już powyżej przedyskutowaliśmy.

Ogólnie, gdy masz równanie
\(\displaystyle{ z^n=w^n}\), gdzie \(\displaystyle{ w}\) to jakaś ustalona liczba zespolona, to
\(\displaystyle{ z=w \cdot \left( \cos\left( \frac{2k\pi}{n} \right) +i\sin\left( \frac{2k\pi}{n} \right) \right)}\)
dla \(\displaystyle{ k=0,1,\ldots n-1}\).

[iyhun]

Ale możesz skorzystać z czegoś takiego:
\(\displaystyle{ z^3=\left( \left(\frac{1-i\sqrt{3}}{-1+i}\right)^{34}
\right)^3}\)
Wtedy \(\displaystyle{ n=3}\) w tym Twoim wzorku, zaś \(\displaystyle{ w=\left(\frac{1-i\sqrt{3}}{-1+i}\right)^{34}}\).

Ahh, to takie oczywiste..

No i otrzymujesz stąd właśnie, że
\(\displaystyle{ z=\left(\frac{1-i\sqrt{3}}{-1+i}\right)^{34}\cdot \left( \
cos\left( \frac{2k\pi}{3} \right)+i\sin\left( \frac{2k\pi}{3} \right) \right)}\)
dla \(\displaystyle{ k=0,1,2}\).
Ale oczywiście to \(\displaystyle{ \left(\frac{1-i\sqrt{3}}{-1+i}\right)^{34}}\) trzeba przedstawić w prostszej postaci, i to już powyżej przedyskutowaliśmy.

Ogólnie, gdy masz równanie
\(\displaystyle{ z^n=w^n}\), gdzie \(\displaystyle{ w}\) to jakaś ustalona liczba zespolona, to
\(\displaystyle{ z=w \cdot \left( \cos\left( \frac{2k\pi}{n} \right) +i\sin\left( \frac{2k\pi}{n} \right) \right)}\)
dla \(\displaystyle{ k=0,1,\ldots n-1}\).

Dziękuję za odpowiedź, to rozwiało wszystkie moje wątpliwości.