Jednostka urojona kontra intuicja, że dwa minusy dają plus

[jesiennaaleja]

Bardzo proszę o pomoc.

Uczyłam się liczb zespolonych ładnych parę lat temu, nie mogę sobie przypomnieć, jak (czy) można było wytłumaczyć, że \(\displaystyle{ i}\) podniesione do kwadratu daje \(\displaystyle{ -1}\).

Czy liczba \(\displaystyle{ i}\) jest dodatnia czy ujemna, czy ma w ogóle znak? Jeżeli jest dodatnia, to klops, a jeżeli jest ujemna, to też klops.

Strasznie przepraszam za pytanie, które jest może idiotyczne.

[relic]

Liczbom zespolonym rozumiemy jak punkty pałszczyzny, a jednostka urojona to pkt. \(\displaystyle{ (0,1)}\).
Nie porównujemy ze sobą tych punktów w sposób jaki robimy to na prostej, więc jednostka urojona nie jest ani dodatnia, ani ujemna.

[Richard del Ferro]

Jest ani dodatnia ani ujemna, poza tym ten zapis jest lekko niepoprawny aczkolwiek w definicji mamy, że jest to rozwiązanie równania \(\displaystyle{ x^2+1=0}\)

\(\displaystyle{ i^2= -1}\)

a, więc poniekąd \(\displaystyle{ i= -\sqrt{-1}}\) lub \(\displaystyle{ i= \sqrt{-1}}\)

Każdą liczbę można zapisać za pomocą sumy

\(\displaystyle{ K = a+bi}\)

Więc

\(\displaystyle{ i=0+1i}\)

Część rzeczywista jest ani dodatnia ani ujemna bo to zero, a część urojona jest dodatnia, ale samo \(\displaystyle{ i}\) nie ma znaku.

[PoweredDragon]

Dla liczb zespolonych nie mamy pojęcia dodatniości czy ujemności. Dla \(\displaystyle{ i}\) definicją jest fakt, że \(\displaystyle{ i^2 = -1}\).

Pytanie lepsze - czy potrafisz w ogóle wytłumaczyć, dlaczego \(\displaystyle{ (-1)(-1) = 1?}\)

@Richard Del Ferro

Stwierdzenie, że \(\displaystyle{ i = -\sqrt{-1}}\) lub \(\displaystyle{ i = \sqrt{-1}}\) jest potwornym zaniedbaniem (pomijając fakt stosowania tu pierwiastków).

\(\displaystyle{ i}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ z^2+1 = 0}\), gdzie \(\displaystyle{ Im(z) > 0}\) (co sam napisałeś wyżej, a mimo wszystko to z pierwiastkami się pojawiło, choć wyklucza się z tym tutaj...), samo \(\displaystyle{ i}\) jednak nie ma znaku...

[jesiennaaleja]

Okej, super.

To już jest dla mnie jasne.

Bardzo dziękuję za szybkie odpowiedzi!

@PoweredDragon
Nie, jak się zastanowię, to wcale nie wiem czemu "dwa minusy dają plus"
Jeżeli chcesz mi to wytłumaczyć, to będę wdzięczna

[PoweredDragon]

Oczywiście, służę pomocą.

Mając jedną liczbę dodatnią i jedną ujemną, co do znaku nie ma wątpliwości - mnożenie to skrócony zapis dodawania (później rozszerzony na wymierne, ale to sytuacja analogiczna; to wciąż dodawanie w sposób skrócony)

Ukryta treść:    

Zatem
\(\displaystyle{ (-1) \cdot 3 = -3}\). Mam złotówkę długu, jak zwiększy się trzykrotnie, to będę miał 3 złote długu, a nie 3 złote w portfelu - logiczne? Logiczne.
\(\displaystyle{ 5(-2) = (-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2) = -10}\)
Ile zatem równa się \(\displaystyle{ (-1) \cdot (-3)}\)? Nie wiem, ale spróbujmy się przekonać:

\(\displaystyle{ -3 + 3 = 0}\) -> Co do tego nikt chyba nie ma wątpliwości. Teraz wszystko przemnóżmy przez \(\displaystyle{ -1}\)

\(\displaystyle{ (-1)(-3) +(-1)(3)=0(-1)}\)
\(\displaystyle{ (-1)(-3)-3 = 0}\)
\(\displaystyle{ (-1)(-3) = 3}\)
Dzieląc przez \(\displaystyle{ 3}\)
\(\displaystyle{ (-1)(-1) = 1}\)

Bardziej "życiowo"
Mnożenie liczb ujemnych możem interpretować też jako stratę długu, czyli zysk

Pod spoilerem chowam bardziej matematyczny dowód tego, że \(\displaystyle{ (-1)(-1) = 1}\), przy założeniu, że \(\displaystyle{ (-1)x = -x}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)

[jesiennaaleja]

Taaaaak, generalnie jest to dla mnie jasne rozumowanie, jeżeli możesz to będę wdzięczna za bardziej formalne wytłumaczenie tego fragmentu:

Mając jedną liczbę dodatnią i jedną ujemną, co do znaku nie ma wątpliwości - mnożenie to skrócony zapis dodawania

Ja oczywiście rozumiem, że jak mam trzy długi po złotówce, to mam trzy złote długu - aż tak źle ze mną nie jest
Chodzi mi raczej o ścisły dowód. (Ale jeżeli Ci się nie chce, to też spoko. Mi tam na długach wystarczy).

[PoweredDragon]

Mnożenie to z tej najprostszej definicji skrócony zapis dodawania do siebie tych samych liczb.

Jeśli mam zatem dla pewnych dodatnich \(\displaystyle{ k, l}\)
\(\displaystyle{ (-k) \cdot l = (-k) + (-k) +...+(-k) = -(k+k+...+k) = -(lk)}\)
\(\displaystyle{ (-7) \cdot 9 = (-7)+(-7)+...+(-7) = -49 = -(9 \cdot 7)}\)

Gdzie to co po pierwszym znaku \(\displaystyle{ =}\) występuje tyle razy, co czynnik po prawej przed pierwszym \(\displaystyle{ =}\)

[jesiennaaleja]

Okej. Tak, teraz jest to dla mnie jasne.

Dzięki za odpowiedź!

[AiDi]

Chodzi mi raczej o ścisły dowód

A taki ścisły ścisły, bazujący na aksjomatach liczb rzeczywistych, to znajdziesz

Kod: Zaznacz cały

https://www.mimuw.edu.pl/~krych/matematyka/am1stare/am1_2005_2006/am1_cz_01.pdf

, strona 4, stwierdzenie 17.