zespolone równanie kwadratowe z modulem

[anios0025]

znalesc zespolone rozwiazaniae rownania

c) \(\displaystyle{ z ^{2}- 15\left| z\right| + 54=0}\)

nie jestem pewny czy to dobra droga, ale napoczątku rozwiazalem jak zwykle rownianie kwadratowe i wyszlo mi:
z=9 lub z=6 dla z>0
z=-9 lub z=-6 dla z<0

i co dalej? prosze o pomoc

[Premislav]

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=gcd_NBA2uGw

Ja bym to zrobił tak:
podstawiamy \(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}}\) i otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ r^2 e^{2i\varphi}-15r+54=0}\), czyli
\(\displaystyle{ r^2e^{2i\varphi}=15r-54}\)
Ponieważ część urojona prawej strony wynosi zero, to część urojona lewej strony też musi taka być, stąd
\(\displaystyle{ 2\varphi=k\pi, \ k\in \ZZ}\).
tj.
\(\displaystyle{ \varphi=\frac k 2\pi, \ k\in \ZZ}\) (z okresowości wychodzi, że wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ \varphi \in \left\{ -\frac \pi 2; 0; \frac \pi 2; \pi\right\} ).}\)
A wówczas dla jednych wartości
\(\displaystyle{ r^2e^{2i\varphi}=15r-54}\) daje nam \(\displaystyle{ -r^2=15r-54}\), zaś dla innych wartości
otrzymujemy \(\displaystyle{ r^2=15r-54}\),
niby są to równania kwadratowe, ale pamiętaj, że \(\displaystyle{ r\ge 0}\).

[PoweredDragon]

Znaczy technicznie zrobiłeś dobrze, przy założeniu, że \(\displaystyle{ z \in \mathbb R}\), ale są jeszcze dwa nierzeczywiste rozwiązania i najlepiej to IMO zrobić metodą Premislava, tj. postacią wykładniczą