Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste nad C

[Czarteg]

Należy wyznaczyć rozkład poniższego ułamka na ułamki proste w zbiorze liczb zespolonych.
\(\displaystyle{ \frac{z^{2015}}{z^{2016}+1}}\)
Wydaje mi się, że należy jakoś rozłożyć licznik i mianownik, aby coś się skróciło, aczkolwiek nie mam na to pomysłu.

[szw1710]

Niektóre potęgi \(\displaystyle{ i}\) są pierwiastkami mianownika. Zobacz które.

[Czarteg]

Chodzi o parzyste potęgi?

[Igor V]

Albo - dla funkcji wymiernej o biegunach pojedynczych :
\(\displaystyle{ \frac{f(z)}{g(z)} = \sum_{k = 0}^{N - 1} \frac{a_k}{z - z_k}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ N}\) jest liczbą pierwiastków mianownika, \(\displaystyle{ z_k}\) są kolejnymi tymi pierwiastkami oraz \(\displaystyle{ a_k = \frac{f(z_k)}{g'(z_k)}}\)

[Czarteg]

Moglibyście rozwiązać to zadanie, ew. podpowiedzieć jak rozłożyć ten mianownik, bo nie mogę rozwiązać :/

[Premislav]

Igor V na dobrą sprawę napisał Ci bardzo mocną wskazówkę, jak pochodne umiesz liczyć, to od razu wyjdzie (dla funkcji zmiennej zespolonej liczy się je w zasadzie tak samo).
Bez tego to jest jakaś masakra nad Wounded Knee i nawet bym się za to zadanie nie brał. Aha,
miejsca zerowe mianownika to oczywiście pierwiastki zespolone stopnia \(\displaystyle{ 2016}\) z \(\displaystyle{ -1=\cos \pi+i\sin \pi}\), więc są one postaci \(\displaystyle{ \cos\left( \frac{\pi+2k\pi}{2016} \right) +i\sin\left( \frac{\pi+2k\pi}{2016} \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ k=0,1,\ldots 2015}\).

Zatem rozkład tego mianownika wygląda tak:
\(\displaystyle{ \prod_{k=0}^{2015} \left(z-\left(\cos\left( \frac{\pi+2k\pi}{2016} \right) +i\sin\left( \frac{\pi+2k\pi}{2016} \right)\right)\right)}\)

[kerajs]

Należy wyznaczyć rozkład poniższego ułamka na ułamki proste w zbiorze liczb zespolonych.
\(\displaystyle{ \frac{z^{2015}}{z^{2016}+1}}\)
.

Ależ super niepraktyczny przykład.
\(\displaystyle{ x^{2016}=-1\\
x^{2016}=\cos ( \pi +k2 \pi )+i\sin ( \pi +k2 \pi )\\
x_i=\cos ( \frac{ \pi }{2016} +i \cdot \frac{\pi}{1008} )+i\sin ( \frac{ \pi }{2016} +i \cdot \frac{\pi}{1008} ) \wedge i \in \left\{ 0,1,2,3,...,2015\right\} \\
\frac{x^{2015}}{x^{2016}+1}= \sum_{i=0}^{2015} \frac{ \frac{ x_i^{2015}}{ \left( \prod_{k=0}^{i-1}(x_i-x_k) \right)\left( \prod_{k=i+1}^{2015}(x_i-x_k) \right) }}{x-x_i}}\)