Równanie zespolone

[Czarteg]

\(\displaystyle{ z^3=\left(\frac{3+5i}{1+i}\right)^6}\)
Rozwiązywaliśmy ten przykład na ćwiczeniach. Oto rozwiązanie:
\(\displaystyle{ z_{0}=\left(\frac{3+5i}{1+i}\right)^2}\) - oczywiście wiem skąd jest to rozwiązanie, problem mam dalej. Otóż dalszą część zadania rozwiązał prowadzący i napisał, że kolejne pierwiastki będą postaci:\(\displaystyle{ z_{1}=z_{0}\cdot\omega}\) oraz \(\displaystyle{ z_{2}=z_{0}\cdot\omega^2}\), gdzie \(\displaystyle{ \omega=e^{i\frac{2\pi}{3}}=\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)}\). Moje pytanie brzmi: Skąd się wzięło \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\), kiedy liczę moduł tej liczby to nie wychodzą mi żadne ładne argumenty. Nie wiem też skąd ten wzór z omegą na kolejne pierwiastki. Proszę o wyjaśnienie rozwiązania.

[Igor V]

Wiesz że musisz mieć trzy pierwiastki z czego jeden już znalazłeś. Można zadać sobie wtedy pytanie dla jakich \(\displaystyle{ u \in \CC}\) \(\displaystyle{ \left(\frac{3+5i}{1+i}\right)^6 = \left(\frac{3+5i}{1+i}\right)^6 \cdot u^3 = \left(\frac{3+5i}{1+i}\right)^6 \cdot \left[r^3(\cos(3\phi) + j\sin(3\phi)\right]}\). Oczywiście dla takich że
\(\displaystyle{ \begin{cases} r = 1 \\ 3\phi = 2k\pi\end{cases}}\)