Równanie zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Czarteg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 28 wrz 2017, o 12:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy

Równanie zespolone

Post autor: Czarteg »

\(\displaystyle{ (z-i)^4=(\sqrt{3}+i)^6}\)
Czy muszę podnosić te nawiasy do potęg? Ewentualnie, czy mogę spierwiastkować obustronnie? Tylko wtedy pozbawię się chyba rozwiązań tego równania, bo zmniejszę potęgę z. Proszę o pomoc.
Edit:
Mam jeszcze drugie równanie:
\(\displaystyle{ z^{12}=z^8=1}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Równanie zespolone

Post autor: Premislav »

Pierwsze:
\(\displaystyle{ ((z-i)^2)^2=\left((\sqrt{3}+i)^3\right)^2\\ (z-i)^2=(\sqrt{3}+i)^3 \vee (z-i)^2=-\left( \sqrt{3}+i\right)^3}\)
Teraz wzór de Moivre'a: odnotujmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{3}+i=2\left( \cos \frac \pi 6+i\sin \frac \pi 6\right)}\), więc
\(\displaystyle{ (\sqrt{3}+i)^3=2^3\left( \cos \frac \pi 2+i\sin \frac \pi 2\right) =8i}\)
i masz coś takiego:
\(\displaystyle{ (z-i)^2=8i \vee (z-i)^2=-8i}\), a to już równania kwadratowe, więc powinieneś sobie poradzić.

Drugie: znowu z de Moivre'a, mianowicie
\(\displaystyle{ z^8=1 \Leftrightarrow r^8(\cos(8\alpha)+i\sin(8\alpha))=1 \Leftrightarrow r=1 \wedge\left( \exists k \in \ZZ\right) \left( 8\alpha=2k\pi\right)}\)
i podobnie
\(\displaystyle{ z^{12}=1 \Leftrightarrow r^{12}\left( \cos(12 \alpha)+i\sin(21\alpha)\right) =1 \Leftrightarrow r=1 \wedge (\exists k \in \ZZ)(12\alpha=2k\pi)}\),
pozostaje wykonać dzielenie (szkoła podstawowa) i odnotować, że
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{k\pi}{4}: k \in \ZZ\right\} \cap \left\{ \frac{k\pi}{6}: k \in \ZZ\right\}=\left\{ \frac{k\pi}{2}: k\in \ZZ\right\}}\),
wstawiając to wszystko do postaci trygonometrycznej, mamy
\(\displaystyle{ z=i \vee z=-i \vee z=1 \vee z=-1}\)
Można to zrobić szybciej, mianowicie zauważyć, że musi być \(\displaystyle{ z^4=1}\) (co łatwo rozwiązać, wiedząc tylko jak wyglądają wzory skróconego mnożenia i że \(\displaystyle{ i^2=-1}\)), a potem uzasadnić, że wszystkie takie liczby \(\displaystyle{ z}\), iż \(\displaystyle{ z^4=1}\), działają.
ODPOWIEDZ