Dowód równości dwóch liczb zespolonych

[TorrhenMathMeth]

Witam, problem z dowodem następującej tezy:

\(\displaystyle{ \forall z,w \in \CC}\) oraz \(\displaystyle{ \forall \alpha \in \CC \setminus \RR : z=w \Leftrightarrow e^z = e^w \wedge e^{\alpha z} = e^{\alpha w}}\)

Czy mogłby mi to ktoś formalnie udowodnić?

[janusz47]

Pierwszy sposób

Korzystamy z własności symbolu Eulera:

\(\displaystyle{ e^{z} = e^{x}(\cos(y) + i\sin(y))}\)

i różnowartościowości funkcji \(\displaystyle{ exp().}\)


Drugi sposób

Korzystamy z własności funkcji analitycznej \(\displaystyle{ f(z) = u(x,y) +iv(x,y),}\)

definiując funkcję \(\displaystyle{ exp(z)}\) jako rozwiązanie równania różniczkowego:

\(\displaystyle{ f'(z) = f(z)}\)

przy warunku początkowym:

\(\displaystyle{ f(0) = u(0,0) + i v(0,0) = 1.}\)