Czy u(x,y) może być częścią rzeczywistą funkcji holomorficzn

[Alad]

Witam,
Czy \(\displaystyle{ u \left( x, y \right) = \cos x + 2y^{2}}\) może być częścią rzeczywistą funkcji holomorficznej \(\displaystyle{ f(z)}\) ?
Otóż korzystając ze wzorów C-R udało mi się obliczyć \(\displaystyle{ v(x , y ) = -4xy - y\sin x + C}\), ale nie widzę, aby coś z tego dalej wynikało.
Pozdrawiam

[janusz47]

Sprawdź, czy są spełnione warunki Cauchy-Riemanna:

\(\displaystyle{ u'_{|x}(x,y) = v'_{|y}(x,y),}\)

\(\displaystyle{ u'_{|y}(x,y) =-v'_{|x}(x,y).}\)

[Alad]

Hmm, rzeczywiście nie są one spełnione. Założyłem, że skoro wyliczyłem z równań C-R \(\displaystyle{ v(x,y)}\) to warunki C-R będą automatycznie spełnione. Jak widać tak nie jest.
Dziękuję

[Dasio11]

Bez wyliczania funkcji \(\displaystyle{ v,}\) nietrudno udowodnić z warunków Cauchy'ego-Riemanna, że warunkiem koniecznym, żeby \(\displaystyle{ u(x, y)}\) była częścią rzeczywistą pewnej funkcji holomorficznej, jest

\(\displaystyle{ \Delta u \equiv 0}\)

gdzie \(\displaystyle{ \Delta u = \frac{\partial^2 u}{(\partial x)^2} + \frac{\partial^2 u}{(\partial y)^2}.}\)

[janusz47]

Trzeba mieć dodatkowy warunek na tę funkcję.