Równanie zespolone.

[sabfil]

Rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ (z - 1)^{3} = (1 + 2i)^{3}}\)

Czy mogę po prostu zrobić coś takiego:

\(\displaystyle{ (z-i) = (1+2i)}\) jako że jest tam taka sama potęga?

Pozdrawiam

[JakimPL]

Nie, to da tylko jedno z trzech możliwych rozwiązań. Dla zobrazowania, niech \(\displaystyle{ z=\tfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}}\), wówczas (sprawdź!):

\(\displaystyle{ z^3=1^3=1}\)

ale \(\displaystyle{ z\neq 1}\). Przejście \(\displaystyle{ x^3=y^3\Rightarrow x=y}\) jest uzasadnione w przypadku liczb rzeczywistych, dla zespolonych - co widać na załączonym obrazku - nie.

[sabfil]

Zatem jak powinienem zacząć?

[JakimPL]

Można na parę sposobów. Jeden z nich polega na wykorzystaniu wzoru skróconego mnożenia \(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\):

\(\displaystyle{ 0=(z-1)^3-(1+2i)^3=\left[(z-1)-(1+2i)\right]\left[(z-1)^2+(z-1)(1+2i)+(1+2i)^2\right]}\)

co po uproszczeniu daje:

\(\displaystyle{ 0 = \left[z-(2+2i)\right]\left(z^2-z(1-2i)-3+2i\right)}\)

z czego otrzymujemy jedno rozwiązanie, \(\displaystyle{ z=2+2i}\); drugie równanie jest równaniem kwadratowym.

[sabfil]

Ooooo jak ładnie. Dobry pomysł, dziękuje bardzo.