Pierwiastkowanie liczb zespolonych metodą graficzną

[wpzd]

Chcę obliczyć pierwiastek z \(\displaystyle{ -6i-8}\).

Jednym ze sposobów jest obliczenie ich ze wzoru

AU

pierwiastek_zespolony_wzor.png (2.91 KiB) Przejrzano 163 razy

Potrzebuję więc znać \(\displaystyle{ \varphi}\)

Mogę to obliczyć przekształcając liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej. Niestety, \(\displaystyle{ cos\varphi=-\frac{4}{5}}\), więc wartość \(\displaystyle{ \varphi}\) będzie

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=arccos%28-4%2F5%29

.

Jednocześnie

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28-6i-8%29

, co oznacza że skoro wychodzą mi takie krzaki jak \(\displaystyle{ \arccos(-4/5)}\) to coś muszę robić nie tak.

Podobno pierwiastki można obliczać innymi sposobami, jak chociażby "metoda graficzna". Niestety nie udało mi się znaleźć żadnych informacji na jej temat, czy ktoś z was ma pojęcie jak mogłoby to działać i jak mógłbym to zastosować do mojego przykładu?

[Belf]

Wynik: \(\displaystyle{ z = 1 - 3i}\) , jest tylko jednym z rozwiazań i uzyskuje się go dość prosto:

\(\displaystyle{ \sqrt{-8-6i}=z \Rightarrow -8-6i=z^2}\)

\(\displaystyle{ -8-6i = (x+iy)^2 =x^2 - y^2 + 2xyi}\) , a więc:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2=-8 \\ 2xy=-6 \end{cases}}\)

Rozwiązując ten układ równań w zbiorze liczb całkowitych otrzymamy: \(\displaystyle{ x=1 \ ; \ y=-3}\)

[JakimPL]

Dodam, że zachodzi ciekawy wzór, dzięki któremu możemy wyznaczyć jeden z pierwiastków:

\(\displaystyle{ \sqrt{z}=\sqrt{|z|}\frac{z+|z|}{|z+|z||}}\)

W naszym przypadku dla \(\displaystyle{ z=-8-6i}\), \(\displaystyle{ |z|=10}\):

\(\displaystyle{ \sqrt{z}=\sqrt{10}\frac{-8-6i+10}{|-8-6i+10|}=\sqrt{10}\frac{2-6i}{|2-6i|}=\sqrt{10}\frac{2-6i}{\sqrt{2^2+6^2}}}\)

Dalej przekształcając:

\(\displaystyle{ \sqrt{z}=2\sqrt{10}\frac{1-3i}{\sqrt{40}}=\frac{2\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}\left(1-3i\right)=1-3i}\).

Drugi pierwiastek to oczywiście \(\displaystyle{ -\sqrt{z}}\).