Mam problem z zadaniami na zespolone, gdzie mam narysować coś w stylu:
\(\displaystyle{ \arg(z-3+i) = \frac{ \pi }{3}
\\ \frac{ \pi }{3} \le \arg(\overline{z}+i) \le \pi}\)
Bo co do pierwszego to rozumiem że rysuję arg(z) i przesuwam 3 w prawo 1 w dół, ale jak to ładnie zapisać?
Co do drugiego to też bym wykres narysował - przesuwając go 1 w dół i odwracając względem osi Rez, ale też byłbym wdzięczny za pomoc w zapisie.
Inne metody niż przekształcanie wykresu mile widziane.
Jak narysować wykres arg(z1+z2)=...?
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Re: Jak narysować wykres arg(z1+z2)=...?
Żadne przesuwanie i odwracanie!
\(\displaystyle{ z=a+bi \\
\arg z=\begin{cases}
\arctg\frac{b}{a}&\mbox{ gdy }a > 0 \\
\arctg\frac{b}{a}+\pi&\mbox{ gdy }a < 0
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \arg(z-3+i)=\arg(a+bi-3+i)=\arg\Big((a-3)+(b+1)i)\Big)=\arctg\frac{b+1}{a-3}}\) ewentualnie \(\displaystyle{ +\pi}\) .
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zespolone
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Argument_liczby_zespolonej
\(\displaystyle{ z=a+bi \\
\arg z=\begin{cases}
\arctg\frac{b}{a}&\mbox{ gdy }a > 0 \\
\arctg\frac{b}{a}+\pi&\mbox{ gdy }a < 0
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \arg(z-3+i)=\arg(a+bi-3+i)=\arg\Big((a-3)+(b+1)i)\Big)=\arctg\frac{b+1}{a-3}}\) ewentualnie \(\displaystyle{ +\pi}\) .
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Jak narysować wykres arg(z1+z2)=...?
a)
\(\displaystyle{ arg( z-3+i) =\frac{\pi}{3}}\)(0)
\(\displaystyle{ \arg[z - (3 - i)] = \frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \arg[ z - z_{0}] = \frac{\pi}{3}}\) (1)
\(\displaystyle{ z_{0} = 3 - i}\)
Przesuwamy wierzchołek kąta do punktu (o wektor) \(\displaystyle{ z_{0}= 3- i.}\)
Rysujemy w tym punkcie kółko otwarte.
Rysujemy od tego punktu w prawo linię poziomą przerywaną lub ciągłą - równoległą do osi rzeczywistej \(\displaystyle{ Re.}\)
Odkładamy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara kąt o mierze \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}=
60^{o}}\) względem tej linii.
Pogrubiamy linią ciągłą obrócone ramię kąta.
Zbiór punktów płaszczyzny zespolonej należących do tego ramienia kąta spełnia równość (1), tym samym równość (0).
b)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} \leq \arg [\overline{z} + i] \leq \pi}\) (2)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}\leq \arg[ \overline{z}-(-i)] \leq \pi}\)
Z własności sprzężenia
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} \leq \arg[ \overline{z - i}] \leq \pi}\)
Z własności argumentu liczby sprzężonej
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} \leq \pi - \arg[z - i] \leq \pi}\)
\(\displaystyle{ -\pi +\frac{\pi}{3} \leq -\arg[z-i] \leq \pi -\pi}\)
\(\displaystyle{ 0 \leq \arg[ z - i] \leq \pi -\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ 0 \leq \arg[ z - i] \leq \frac{2}{3}\pi}\) (3)
Przesuwamy wierzchołek kąta do punktu (o wektor) \(\displaystyle{ z_{0}= 0 + i.}\)
Rysujemy kółeczko otwarte w tym punkcie.
Rysujemy od tego punktu w prawo linię ciągłą równoległą do osi rzeczywistej \(\displaystyle{ Re}\) - pierwsze ramię kąta.
Obracamy od tego ramienia drugie ramię kąta w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o kąt \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi =120^{o}.}\)
Rysujemy linią ciągłą drugie ramię kąta.
Zaznaczamy obszar kąta wypukłego zawartego między tymi ramionami.
Zbiór punktów płaszczyzny zespolonej należący do tego kąta wypukłego wraz z jego ramionami spełnia nierówność (3) tym samym nierówność (2).
\(\displaystyle{ arg( z-3+i) =\frac{\pi}{3}}\)(0)
\(\displaystyle{ \arg[z - (3 - i)] = \frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \arg[ z - z_{0}] = \frac{\pi}{3}}\) (1)
\(\displaystyle{ z_{0} = 3 - i}\)
Przesuwamy wierzchołek kąta do punktu (o wektor) \(\displaystyle{ z_{0}= 3- i.}\)
Rysujemy w tym punkcie kółko otwarte.
Rysujemy od tego punktu w prawo linię poziomą przerywaną lub ciągłą - równoległą do osi rzeczywistej \(\displaystyle{ Re.}\)
Odkładamy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara kąt o mierze \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}=
60^{o}}\) względem tej linii.
Pogrubiamy linią ciągłą obrócone ramię kąta.
Zbiór punktów płaszczyzny zespolonej należących do tego ramienia kąta spełnia równość (1), tym samym równość (0).
b)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} \leq \arg [\overline{z} + i] \leq \pi}\) (2)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}\leq \arg[ \overline{z}-(-i)] \leq \pi}\)
Z własności sprzężenia
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} \leq \arg[ \overline{z - i}] \leq \pi}\)
Z własności argumentu liczby sprzężonej
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} \leq \pi - \arg[z - i] \leq \pi}\)
\(\displaystyle{ -\pi +\frac{\pi}{3} \leq -\arg[z-i] \leq \pi -\pi}\)
\(\displaystyle{ 0 \leq \arg[ z - i] \leq \pi -\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ 0 \leq \arg[ z - i] \leq \frac{2}{3}\pi}\) (3)
Przesuwamy wierzchołek kąta do punktu (o wektor) \(\displaystyle{ z_{0}= 0 + i.}\)
Rysujemy kółeczko otwarte w tym punkcie.
Rysujemy od tego punktu w prawo linię ciągłą równoległą do osi rzeczywistej \(\displaystyle{ Re}\) - pierwsze ramię kąta.
Obracamy od tego ramienia drugie ramię kąta w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o kąt \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi =120^{o}.}\)
Rysujemy linią ciągłą drugie ramię kąta.
Zaznaczamy obszar kąta wypukłego zawartego między tymi ramionami.
Zbiór punktów płaszczyzny zespolonej należący do tego kąta wypukłego wraz z jego ramionami spełnia nierówność (3) tym samym nierówność (2).