Jak narysować wykres arg(z1+z2)=...?

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
k221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 23 sie 2015, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 22 razy

Jak narysować wykres arg(z1+z2)=...?

Post autor: k221 »

Mam problem z zadaniami na zespolone, gdzie mam narysować coś w stylu:
\(\displaystyle{ \arg(z-3+i) = \frac{ \pi }{3}
\\ \frac{ \pi }{3} \le \arg(\overline{z}+i) \le \pi}\)

Bo co do pierwszego to rozumiem że rysuję arg(z) i przesuwam 3 w prawo 1 w dół, ale jak to ładnie zapisać?

Co do drugiego to też bym wykres narysował - przesuwając go 1 w dół i odwracając względem osi Rez, ale też byłbym wdzięczny za pomoc w zapisie.

Inne metody niż przekształcanie wykresu mile widziane.
Ostatnio zmieniony 30 lis 2017, o 17:09 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Re: Jak narysować wykres arg(z1+z2)=...?

Post autor: SlotaWoj »

Żadne przesuwanie i odwracanie!

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zespolone

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Argument_liczby_zespolonej


\(\displaystyle{ z=a+bi \\
\arg z=\begin{cases}
\arctg\frac{b}{a}&\mbox{ gdy }a > 0 \\
\arctg\frac{b}{a}+\pi&\mbox{ gdy }a < 0
\end{cases}}\)


\(\displaystyle{ \arg(z-3+i)=\arg(a+bi-3+i)=\arg\Big((a-3)+(b+1)i)\Big)=\arctg\frac{b+1}{a-3}}\) ewentualnie \(\displaystyle{ +\pi}\) .
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Jak narysować wykres arg(z1+z2)=...?

Post autor: janusz47 »

a)

\(\displaystyle{ arg( z-3+i) =\frac{\pi}{3}}\)(0)

\(\displaystyle{ \arg[z - (3 - i)] = \frac{\pi}{3}}\)

\(\displaystyle{ \arg[ z - z_{0}] = \frac{\pi}{3}}\) (1)

\(\displaystyle{ z_{0} = 3 - i}\)

Przesuwamy wierzchołek kąta do punktu (o wektor) \(\displaystyle{ z_{0}= 3- i.}\)
Rysujemy w tym punkcie kółko otwarte.
Rysujemy od tego punktu w prawo linię poziomą przerywaną lub ciągłą - równoległą do osi rzeczywistej \(\displaystyle{ Re.}\)
Odkładamy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara kąt o mierze \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}=
60^{o}}\)
względem tej linii.
Pogrubiamy linią ciągłą obrócone ramię kąta.
Zbiór punktów płaszczyzny zespolonej należących do tego ramienia kąta spełnia równość (1), tym samym równość (0).


b)

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} \leq \arg [\overline{z} + i] \leq \pi}\) (2)

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}\leq \arg[ \overline{z}-(-i)] \leq \pi}\)

Z własności sprzężenia

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} \leq \arg[ \overline{z - i}] \leq \pi}\)

Z własności argumentu liczby sprzężonej

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} \leq \pi - \arg[z - i] \leq \pi}\)

\(\displaystyle{ -\pi +\frac{\pi}{3} \leq -\arg[z-i] \leq \pi -\pi}\)

\(\displaystyle{ 0 \leq \arg[ z - i] \leq \pi -\frac{\pi}{3}}\)

\(\displaystyle{ 0 \leq \arg[ z - i] \leq \frac{2}{3}\pi}\) (3)

Przesuwamy wierzchołek kąta do punktu (o wektor) \(\displaystyle{ z_{0}= 0 + i.}\)

Rysujemy kółeczko otwarte w tym punkcie.

Rysujemy od tego punktu w prawo linię ciągłą równoległą do osi rzeczywistej \(\displaystyle{ Re}\) - pierwsze ramię kąta.

Obracamy od tego ramienia drugie ramię kąta w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o kąt \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi =120^{o}.}\)

Rysujemy linią ciągłą drugie ramię kąta.

Zaznaczamy obszar kąta wypukłego zawartego między tymi ramionami.

Zbiór punktów płaszczyzny zespolonej należący do tego kąta wypukłego wraz z jego ramionami spełnia nierówność (3) tym samym nierówność (2).
ODPOWIEDZ