Dzień Dobry,
Proszę o pomoc w dwóch zadankach.
\(\displaystyle{ \left(z+i) ^{4} \right = \left(2-i) ^{8} \right}\)
\(\displaystyle{ 4z\left| z \right|^{3}=-i(\overline{z})^{2}}\)
Rozwiąż równanie
-
kylercopeland
- Użytkownik
- Posty: 150
- Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 54 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Rozwiąż równanie
Co do pierwszego, myślę że warto zapamiętać coś takiego:
jeśli masz równanie zespolone \(\displaystyle{ z^n=z_0^n}\), gdzie \(\displaystyle{ z_0}\) to pewna dana liczba zespolona, zaś \(\displaystyle{ z}\) to niewiadoma, to rozwiązania są postaci
\(\displaystyle{ z=z_0 \cdot \left( \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin \left( \frac{2k\pi}{n}\right) \right), \ k=0,1,\ldots n-1}\)
- te liczby w nawiasie to pierwiastki zespolone \(\displaystyle{ n}\). stopnia z \(\displaystyle{ 1}\).
Tak więc tutaj:
\(\displaystyle{ \left(z+i) ^{4} \right =(2-i) ^{8}=((2-i)^2)^4\\ z+i=(2-i)^2\cdot \left( \cos\left(\frac{2k\pi}{4}\right)+i\sin \left( \frac{2k\pi}{4}\right) \right), \ k=0,1,2,3\\ z=-i+(2-i)^2\cdot \left( \cos\left(\frac{2k\pi}{4}\right)+i\sin \left( \frac{2k\pi}{4}\right) \right), \ k=0,1,2,3}\)
jeśli masz równanie zespolone \(\displaystyle{ z^n=z_0^n}\), gdzie \(\displaystyle{ z_0}\) to pewna dana liczba zespolona, zaś \(\displaystyle{ z}\) to niewiadoma, to rozwiązania są postaci
\(\displaystyle{ z=z_0 \cdot \left( \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin \left( \frac{2k\pi}{n}\right) \right), \ k=0,1,\ldots n-1}\)
- te liczby w nawiasie to pierwiastki zespolone \(\displaystyle{ n}\). stopnia z \(\displaystyle{ 1}\).
Tak więc tutaj:
\(\displaystyle{ \left(z+i) ^{4} \right =(2-i) ^{8}=((2-i)^2)^4\\ z+i=(2-i)^2\cdot \left( \cos\left(\frac{2k\pi}{4}\right)+i\sin \left( \frac{2k\pi}{4}\right) \right), \ k=0,1,2,3\\ z=-i+(2-i)^2\cdot \left( \cos\left(\frac{2k\pi}{4}\right)+i\sin \left( \frac{2k\pi}{4}\right) \right), \ k=0,1,2,3}\)