Znajdz współczynniki wielomianu

[lolo666]

Podany jest jeden pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ w(z) = az^{3}+bz+1 \ z_{1} = 1+i}\) i wiem, że \(\displaystyle{ a,b \in \RR}\).
Jako, że współczynniki wielomianu należą do zbioru liczb rzeczywistych, to znam drugi pierwiastek, który jest sprężeniem. Pytanie, jak to podzielić z niewiadomymi a,b? Czy może lepiej użyć schematu Hornera i potem układ równań ułożyć?

[Janusz Tracz]

Skoro to pierwiastki to Twój układ równań to:

\(\displaystyle{ \begin{cases} w(1+i)=0 \\w(1-i)=0 \end{cases}}\)

i z niego możesz liczyć \(\displaystyle{ a,b}\)

[lolo666]

Policzyłem i mam takie coś:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a(-2+2i)+b(1+i)+1=0\\ a(-2-2i)+b(1-i)+1=0\end{cases}}\)
i mam porównać osobno z a i osobno z b tzn.
\(\displaystyle{ a(-2+2i) = a(-2-2i)\\
b(1+i) = b(1-i)}\)
Czy dobrze rozumuje czy inny sposób?

EDIT
Rozwiązałem i wyszło, że zarówno a, jak i b są równe 0. Więc źle coś tu jest.

[Janusz Tracz]

Ogólnie to nie potrzebujesz aż 2 równań możesz skorzystać z:

\(\displaystyle{ a(-2+2i)+b(1+i)+1=0}\)

i porównać część rzeczywistą i urojoną.

co da Ci

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2a+b+1=0 \\ 2a+b=0 \end{cases}}\)

[lolo666]

Dobra, teraz wyszło elegancko. A mam jeszcze jedno zadanie z współczynnikami a,b, jednak one już należą do zbioru liczb zespolonych. Wielomian \(\displaystyle{ w(z) = az^{4}-z^{3}-bz+2}\) dzieli się przez wielomian \(\displaystyle{ P(z) = z^{2} - (1+i)z + i}\). Mam policzyć miejsca zerowe wielomianu P i podobnie jak w poprzednim zadaniu, czy to już tak nie działa (lub to zbyt czasochłonne)?

[Zahion]

Skoro \(\displaystyle{ w}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ P}\) to \(\displaystyle{ w\left( z \right) = P\left( z \right)Q\left( z \right)}\), dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ Q}\) stopnia ( ? ).
Zauważ, że \(\displaystyle{ P\left( z \right) = \left( z^{2} -z \right) -zi + i = z\left( z - 1 \right) -i\left( z - 1\right) =\left( z - 1 \right)\left( z - i\right)}\).
Co możesz powiedzieć o pierwiastkach wielomianu \(\displaystyle{ w}\) znając pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ P}\) ?

[lolo666]

No to skoro znamy pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ P}\), to znamy też pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ w}\).