Równania zespolone

[lolo666]

1. Mam naszkicować na płaszczyźnie następujące zbiory:
\(\displaystyle{ A = \left\{ z \in \CC: \left| z-1\right| = Re\left( z+1\right) \right\} \\
B = \left\{ \left| \frac{z-1}{z-i} \right|>1, argz< \pi \right\} \\}\)
Zrobiłem tak, że pod z podstawiłem wartość \(\displaystyle{ x + iy}\). I wyskoczyły mi bardzo dziwne wartości, oto moje działania:
\(\displaystyle{ a)\left| z - 1\right| = \left| x-1+iy\right| \\ x-1+iy = w\\ \left| w\right| = \sqrt{\left( x-1\right)^{2} + y^{2}}\\Re\left( z+1\right) = Re\left( x+iy+1\right)}\)
Więc wychodzi mi równość, że \(\displaystyle{ \sqrt{\left( x-1\right)^{2} + y^{2}} = x+1}\)
Podnoszę to do kwadratu i wychodzi układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} - 1 + y^{2} = 0\\ y^{2} = 4x\end{cases}}\)
I tu potem liczę równanie kwaadratowe, ale nie jestem pewny, czy wszystko robię do tej pory dobrze.
w drugim przykładzie skorzystałem z własności modułu, czyli moduł ilorazu to iloraz modułów, ale nie wiem, bo ostatecznie wynik wyszedł mi \(\displaystyle{ x>y}\) wiec chyba coś źle

[kerajs]

Więc wychodzi mi równość, że \(\displaystyle{ \sqrt{\left( x-1\right)^{2} + y^{2}} = x+1}\)

założenie \(\displaystyle{ x \red + \black 1\ge 0}\)
dopiero teraz podnosisz równanie do kwadratu:
\(\displaystyle{ \left( x-1\right)^{2} + y^{2}=(x+1)^2\\
y^2=4x}\)
a to jest równanie paraboli. Sprawdź czy założenie nie ,,przytnie' paraboli.

w drugim przykładzie skorzystałem z własności modułu, czyli moduł ilorazu to iloraz modułów, ale nie wiem, bo ostatecznie wynik wyszedł mi \(\displaystyle{ x>y}\) wiec chyba coś źle

\(\displaystyle{ \left|z-1 \right| >\left|z-i \right| \\
\sqrt{\left( x-1\right)^{2} + y^{2}}>\sqrt{x^2+\left( y-1\right)^{2} }\\
\left( x-1\right)^{2} + y^{2}>x^2+\left( y-1\right)^{2} \\
.....}\)

Nie zapomnij o ograniczeniu kąta z treści zadania

Edit:
Zmieniłem błędny znak.

[Belf]

\(\displaystyle{ |z-1|>|z-i|}\) , to zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu \(\displaystyle{ z_1=1}\)
jest większa niż odległośc od punktu: \(\displaystyle{ z_2 = i}\).
Jest to zatem półpłaszczyna nad symetralną odcinka o końcach w punktach: \(\displaystyle{ z_1 \ i \ z_2}\),czyli nad prostą:\(\displaystyle{ y=x}\).
Musisz jeszcze ograniczyć tą półpłaszczyznę drugim warunkiem, a więc ujemną częścią osi \(\displaystyle{ OX}\)
Oczywiście punkt:\(\displaystyle{ z = i}\) nie należy do tego zbioru.-- 29 lis 2017, o 09:18 --

Więc wychodzi mi równość, że \(\displaystyle{ \sqrt{\left( x-1\right)^{2} + y^{2}} = x+1}\)

założenie \(\displaystyle{ x -1\ge 0}\)

A skąd takie założenie ?

[lolo666]

założenie\(\displaystyle{ x \red + \black 1\ge 0}\)
dopiero teraz podnosisz równanie do kwadratu:
\(\displaystyle{ \left( x-1\right)^{2} + y^{2}=(x+1)^2\\ y^2=4x}\)
a to jest równanie paraboli. Sprawdź czy założenie nie ,,przytnie' paraboli.

No dobra, więc trzeba odrzucić wynik mniejszy od -1, tak?
Bo wyszły mi dwa rozwiązania tego równania: \(\displaystyle{ x_{1} = -2- \sqrt{5}\ x_{2} = -2+ \sqrt{5}}\)
Więc odrzucam pierwsze rozwiązanie, bo jest niezgodne z założeniem. A potem to drugie rozwiązanie podłożyć pod \(\displaystyle{ y^{2} = 4x}\) i wyliczyć y? To wyjdą ostatecznie dwa punkty na płaszczyźnie - dobre to rozwiązanie?

\(\displaystyle{ \left|z-1 \right| >\left|z-i \right| \\ \sqrt{\left( x-1\right)^{2} + y^{2}}>\sqrt{x^2+\left( y-1\right)^{2} }\\ \left( x-1\right)^{2} + y^{2}>x^2+\left( y-1\right)^{2} \\ .....}\)
Nie zapomnij o ograniczeniu kąta z treści zadania

Co do drugiego, to tak jak piszesz, rozwiązywałem i wyszło mi, że \(\displaystyle{ x<y}\)

[kerajs]

No dobra, więc trzeba odrzucić wynik mniejszy od -1, tak?

Nie, należy odrzucić te rozwiązania które leżą na półpłaszczyźnie \(\displaystyle{ x<-1}\)

Bo wyszły mi dwa rozwiązania tego równania: \(\displaystyle{ x_{1} = -2- \sqrt{5}\ x_{2} = -2+ \sqrt{5}}\)
Więc odrzucam pierwsze rozwiązanie, bo jest niezgodne z założeniem. A potem to drugie rozwiązanie podłożyć pod \(\displaystyle{ y^{2} = 4x}\) i wyliczyć y? To wyjdą ostatecznie dwa punkty na płaszczyźnie - dobre to rozwiązanie?

Nie. Wyliczyłem że rozwiązaniem są punkty paraboli \(\displaystyle{ y^2=4x}\). Rysujesz ją i sprawdzasz czy jakaś jej część leży na półpłaszczyźnie \(\displaystyle{ x<-1}\) . Cała krzywa jest poza założeniem, więc każdy punkt paraboli jest rozwiązaniem równania.

Co do drugiego, to tak jak piszesz, rozwiązywałem i wyszło mi, że \(\displaystyle{ x<y}\)

OK. Każdy punkt tej półpłaszczyzny jest rozwiązaniem nierówności.
Jedak z zadaniu jest jeszcze informacja że kąt ( \(\displaystyle{ Arg (z)}\) ) szukanych liczb zespolonych ma być mniejszy od \(\displaystyle{ \pi}\) . Musisz sprawdzić czy to ograniczenie nie zawęzi zbioru rozwiązań nierówności.