Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z

[spejson_]

Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną

\(\displaystyle{ z= \frac{ ( \sqrt{3} -i )^{25} }{ (-1 + i)^{50} }}\)

korzystam z tego że

\(\displaystyle{ \left( \cos{x}-i\sin{x}\right)^{n} = \left( \cos{nx}-i\sin{nx}\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \left( -\cos{x}+i\sin{x}\right)^{n} =(-1)^n \left(\cos{nx}-i\sin{nx}\right)}\)
jednak wynik wychodzi mi niepoprawny
Dzieki za kazda odp.

[Belf]

Wsk:

\(\displaystyle{ (-1 + i)^{50}=[(-1+i)^2]^{25}=(-2i)^{25}}\)

[spejson_]

Wsk:

\(\displaystyle{ (-1 + i)^{50}=[(-1+i)^2]^{25}=(-2i)^{25}}\)

hmm ja to robilem (i licznik i mianownik) z de Moivre'a no i w mianowniku mam \(\displaystyle{ 2^{25} \cdot (-1)}\) bo kat wyszedl \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \cos - i\sin = -1}\) czyli mam chyba jakis blad bo u Cb jest zostanie to \(\displaystyle{ i}\) poza tym bedzzie z plusem?

[Belf]

Po wymnożeniu licznika i mianownika przez: \(\displaystyle{ \left( -2i \right)}\) dostajesz:

\(\displaystyle{ z= \left( \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}\cdot i \right) ^{25}}\)

Teraz:

\(\displaystyle{ z^n=|z|^n} \left( \cos \left( n \alpha \right) + i\cdot \sin \left( n \alpha \right) \right)}\)