Znaleźć liczbę zespoloną

[wpzd]

Treść omawianego zadania (która znajdowała się wcześniej w tytule)

Znaleźć liczbę zespoloną z wiedząc że |z-1|=1 i arg(z-i)=0

Załóżmy że
\(\displaystyle{ |z-1|=1=w}\)
więc

\(\displaystyle{ \arg (z-i)=0=\varphi=\arg (w)}\)

\(\displaystyle{ w=|w|(cos(\varphi)+i \sin (\varphi))
\\w=|w|(cos(0)+i \sin (0))
\\w=|w|(1+0)
\\1=1?}\)

No i tym samym wróciłem do punktu wyjścia

[Janusz Tracz]

Napisz poradnie treść zadania i określ swój problem póki co post jest niezrozumiały. Jest też rozbieżność z tematem w którym jest \(\displaystyle{ \arg\left( z-i\right)=0}\) a potem piszesz \(\displaystyle{ \arg\left( z-1\right)=0}\). Podejrzewam że chodzi o wyznaczenie liczb spełniających pewne warunki. I jeśli to miało by być coś w stylu

\(\displaystyle{ \begin{cases} |z-1|=1 \\ \arg(z-i)=0 \end{cases}}\)

To graficznie można na to spojrzeć i widać że \(\displaystyle{ z=1+i}\) będzie dobrym kandydatem.

[Belf]

\(\displaystyle{ |z -1|=1}\) oznacza zbiór wszystkich liczb zespolonych, których odległość od liczby zespolonej:\(\displaystyle{ z_0=1}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\).

Są to zatem liczby zespolone leżące na okręgu o środku w punkcie : \(\displaystyle{ S(1;0)}\) i promieniu: \(\displaystyle{ r = 1}\).

Teraz spośród nich wybierasz tą, która spełnia warunek:\(\displaystyle{ Arg(z-1) = 0}\)

[wpzd]

Na jakiej podstawie stwierdziliście że \(\displaystyle{ z=1+i}\) "będzie dobrym kandydatem"?

Jak powinienem sprawdzić co spełnia warunek \(\displaystyle{ Arg(z-1) = 0}\)?
Czy w związku z tym to jest równanie które powinienem rozwiązać?

\(\displaystyle{ z-1 = |z-1|(cos(0)+i*sin(0))}\)

Czy mam teraz obliczyć a i b liczby zespolonej? Tzn:
\(\displaystyle{ a+bi-1=\sqrt{(a+bi)^2+(-1)^2}(1+i)
\\a+bi-1=\sqrt{a^2+2abi-b^2+1}(1+i)}\)

[Belf]

Z liczb leżących na okręgu, który Ci opisalem, wybierz tą, której \(\displaystyle{ Arg=0}\)
i to jest rozwiązanie zadania.

[Janusz Tracz]

Dalej nie wiadomo o co Ci chodzi. Nie pisz znaczków tylko pełne zdania.

Na jakiej podstawie stwierdziliście że \(\displaystyle{ z=1+i}\) "będzie dobrym kandydatem"?

Uznałem (Belf uznał inaczej) że chodzi Ci o takie zadanie:
"Jaka liczba zespolona spełnia układ?"

\(\displaystyle{ \begin{cases} |z-1|=1 \\ \arg(z-i)=0 \end{cases}}\)

Pierwszy z warunków przedstawia okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) i środku \(\displaystyle{ (1,0)}\)
A drugi warunek to półprosta o zerowym kącie nachylenia zaczepiona w \(\displaystyle{ i}\)
Częścią wspólną tych warunków jest \(\displaystyle{ z=1+i}\) co widać z rysunku a analitycznie można sprawdzić.

Jak powinienem sprawdzić co spełnia warunek \(\displaystyle{ Arg(z-1) = 0}\)?

To możesz sobie wyobrazić. To jest półprosta zaczepiona w \(\displaystyle{ 1}\) nachylona pod zerowym kątem.

PS Belf a skąd wiesz czy chodzi o \(\displaystyle{ \arg(z-1)}\) czy \(\displaystyle{ \arg(z-i)}\) ?

[Belf]

PS Belf a skąd wiesz czy chodzi o \(\displaystyle{ \arg(z-1)}\) czy \(\displaystyle{ \arg(z-i)}\) ?

Założyłem (być może niesłusznie ),że chodzi o tą samą liczbę: \(\displaystyle{ z - 1}\)

[wpzd]

Ukryta treść:    

Dalej nie wiadomo o co Ci chodzi

Pełna, poprawna treść zadania była zawarta w tytule, który został zmieniony przez administratora. Poprawnie założyłeś że chodzi o \(\displaystyle{ \arg\left( z-i\right)=0}\), faktycznie w zapis w jednej z linii wkradł się w błąd, który dawno już poprawiłem i nie powinno być raczej teraz wątpliwości.

Wracając do zadania, faktycznie, szukałem rozwiązania z użyciem wzorów, tymczasem graficznie jest to banalne. Powyższa dyskusja była trochę chaotyczna, więc wstawiam rozwiązanie:

\(\displaystyle{ z=1+i}\)

AU

cs6Smke.png (7.71 KiB) Przejrzano 485 razy

gdzie niebieska linia to \(\displaystyle{ arg(z-i)=0}\) a czerwona: \(\displaystyle{ |z-1|=1}\)

[Belf]

Sam wprowadziłeś chaos raz pisząc:\(\displaystyle{ arg(z-1)=0}\), drugi raz:\(\displaystyle{ arg(z-i)=0}\)

[Janusz Tracz]

wpzd, Teraz jest ok. Prawie... bo niebieska linia to nie linia a pół prosta która zaczyna się w punkcie \(\displaystyle{ (0,1)}\) i biegnie w prawo. Ale to szczegół, domyślam się że po prostu nie wiedziałeś jak wykreślić półprostą.