Liczba czysto urojona

[aolo23]

Załóżmy że \(\displaystyle{ \left| z\right| =1}\) oraz \(\displaystyle{ z \notin \RR}\). Pokaż że liczba \(\displaystyle{ \frac{z-1}{z+1}}\) jest czysto urojona.
Na pewno nie ma błędu w poleceniu? bo mi wyszło odwrotnie, ale to może zważywszy na późną porę.
Mianownik przez sprowadzam do różnicy kwadratów, w mianowniku pojawia mi się \(\displaystyle{ z+1}\) do kwadratu i dalej klops.

[kerajs]

zał: \(\displaystyle{ z \neq -1}\)
\(\displaystyle{ \frac{(z-1)(z'+1)}{(z+1)(z'+1)}= \frac{zz'+z-z'-1}{\left| z+1\right|^2 }=\frac{\left| z\right|^2 +2Im(z)-1}{\left| z+1\right|^2 }=\frac{1+2Im(z)-1}{\left| z+1\right|^2 }=\\=\frac{2Im(z)}{\left| z+1\right|^2 }}\)

albo powalcz z postacią \(\displaystyle{ z=a+ib}\)

EDIT:
I znów moje lenistwo zostało ukarane. A mogłem przynajmniej gwiazdką zaznaczać sprzężenie.

[a4karo]

Prawie dobrze: zamiast \(\displaystyle{ z'}\) zwykło się pisać \(\displaystyle{ \bar{z}}\), a \(\displaystyle{ z-\bar{z} =2\Im\!
(z)i}\)

[aolo23]

Ale ze mnie gapa, teraz to widzę od razu
Dzięki za pomoc

Tylko pytanie często się spotykam że właśnie \(\displaystyle{ Im(z)}\) pisze się bez "i".Kwestia innego nauczania, czy konkretna różnica?

[a4karo]

Nie. Dla \(\displaystyle{ z=a+bi,\ a,b\in\RR}\) mamy \(\displaystyle{ \Re z=a,\ \Im z=b}\)