Obliczanie liczby zespolonej dwoma sposobami.

[Vince221]

Witam wszystkich!

Mam problem z następującym zadaniem:

Obliczyć dwoma sposobami liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z = \left( \sqrt{3} - i \right) ^{3}}\) i przedstawić ją w postaci trygonometrycznej i wykładniczej.

Oczywiście pierwszy sposób jest dla mnie jak najbardziej wykonalny - podstawiam pod:
\(\displaystyle{ \left( a - b\right) ^{3} = a^{3} - 3a ^{2}b + 3ab^{2}-b^{3}}\)

Otrzymuję: \(\displaystyle{ z = -8i}\)

Obliczam moduł:
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{0^{2}+\left( -8\right)^{2} } = \sqrt{64} = 8}\)

Następnie cos i sin:
\(\displaystyle{ \cos = \frac{x}{\left| z\right| } = 0}\)

\(\displaystyle{ \sin = \frac{y}{\left| z\right| } = -1}\)

Jako, że mamy znaki +/- to punkt znajduje się w IV ćwiartce układu współrzędnych:
Dla \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) wartość \(\displaystyle{ \varphi=\frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ 2\pi - \frac{ \pi }{2} = \frac{3}{2} \pi}\)

POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA:
\(\displaystyle{ z = 8 \left( \cos \left( \frac{3}{2} \pi \right) + i \sin \left( \frac{3}{2} \pi \right) \right)}\)

POSTAĆ WYKŁADNICZA:
\(\displaystyle{ z = 8 \cdot e ^{ \frac{3}{2} \pi i }}\)


Nurtującym mnie pytaniem jest to jaki jest drugi sposób obliczenia tej liczby zespolonej, zgodnie z treścią zadania.

[Igor V]

Dziwne zadanie. Możesz przedstawić np \(\displaystyle{ \sqrt{3} - i}\) w postaci trygonometrycznej i skorzystać ze wzoru Moivre'a, alba dać tę samą liczbę do postaci wykładniczej i potem spotęgować.