Równanie zepolone

[shreder221]

Dobry wieczór
Mam problem z równaniem
\(\displaystyle{ 2|z-i|=|z+2i|}\)

Dochodzę do momentu
\(\displaystyle{ Re^{2} (z) +Im^{2} (z) - 2Im(z) -1=0}\)
I dalej nie mogę w żaden sposób pójść. Moglibyście podpowiedzieć co dalej zrobić??

[kerajs]

A jak doszedłeś do tego ,,momentu'?

początek_rozwiązania:    

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{a^2+(b-1)^2}=a+ib+i2\\
4a^2+4(b-1)^2=a^2+i2a(b+2)-(b+2)^2\\
\begin{cases} 4a^2+4(b-1)^2=a^2-(b+2)^2 \\ 0=2a(b+2) \end{cases}}\)

[shreder221]

ojjj przepraszam nie zapisałem modułu ;(

\(\displaystyle{ 2|z-i|=|z+2i|}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{a^{2} + (b-1)^{2}}= \sqrt{a^{2} + (b+2)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 4(a^{2} +b^{2} -2 b +1) =a^{2} + b^{2} + 4b +4}\)
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} -2 b -1 =0}\)

[kerajs]

ojjj przepraszam nie zapisałem modułu ;(

\(\displaystyle{ 2|z-i|=|z+2i|}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{a^{2} + (b-1)^{2}}= \sqrt{a^{2} + (b+2)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 4(a^{2} +b^{2} -2 b +1) =a^{2} + b^{2} + 4b +4}\)
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} -2 b -1 =0}\)

Raczej:
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} -4 b =0\\
a^2+(b-2)^2=2^2}\)

[shreder221]

Rzeczywiście nie pomnożyłem tam jedynki ;(

\(\displaystyle{ |z-2i| =2}\)

\(\displaystyle{ |a+(b-2)i|=2}\)

\(\displaystyle{ |a+(b-2)i|=2 \Rightarrow \begin{cases} b=2\\ a=|2| \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z=2+2i \vee z=-2-i}\)

Zgadza się?
I teraz mam narysować te zbiory. Czyli w tym przypadku mamy zbiór tylko 2 elementowy?

[kerajs]

\(\displaystyle{ |z-2i| =2}\)

Odległość liczb \(\displaystyle{ z}\) od \(\displaystyle{ i2}\) wynosi \(\displaystyle{ 2}\), więc od razu widać że liczby \(\displaystyle{ z}\) tworzą okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ i2}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\)

\(\displaystyle{ |z-2i| =2}\)

\(\displaystyle{ |a+(b-2)i|=2}\)

Gdy tego nie czujesz to wyliczasz
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+(b-2)^2}=2\\
a^2+(b-2)^2=2^2}\)
i dostajesz równanie tego okręgu.