Mógłby ktoś to rozwiązać lub wytłumaczyć w jaki sposób to zrobić?
Zadanie 1: Przedstawić na płaszczyźnie zespolone liczby: \(\displaystyle{ e^{ \pi i}, e^{ \frac{ \pi }{2} i}, e^{ \frac{3}{2} \pi i}, e^{2k \pi i}}\) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)
Zadanie 2: Obliczyć podane pierwiastki. Wynik przedstawić w postaci algebraicznej i wykładniczej (tam gdzie nie nastręcza to zbyt wielu rachunków):
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{1}, \sqrt[6]{-1}, \sqrt[3]{-27}, \sqrt[9]{-8i}, \sqrt[4]{-2+2 \sqrt{3i} }}\)
Pierwiastki liczb ujemnych i postać wykładnicza
-
Freezend
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 6 lis 2017, o 19:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 1 raz
Pierwiastki liczb ujemnych i postać wykładnicza
Ostatnio zmieniony 7 lis 2017, o 11:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7916
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Pierwiastki liczb ujemnych i postać wykładnicza
A mógłbyś przejawić trochę swojej własnej inicjatywy, pracy i przedstawić swoje własne rozwiązania.
Popatrzymy, doradzimy, poprawimy.
Popatrzymy, doradzimy, poprawimy.
-
Freezend
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 6 lis 2017, o 19:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 1 raz
Pierwiastki liczb ujemnych i postać wykładnicza
Przy zadaniach, które wiem jak rozwiązywać bym się pomęczył aż w końcu wyszedłby mi poprawny wynik. Problem w tym, że nie wiem jak to obliczyć. Potrafię zamienić liczbę zespoloną z postaci algebraicznej na postać wykładniczą, ale nie mam pojęcia jak zrobić to w drugą stronę.
----
Okej, chyba znalazłem wzór potrzebny do 2 zadania:
\(\displaystyle{ W_{k}=\sqrt[n]{|z|} \left( \cos \left( \frac{\psi+2k\pi}{n} \right) +i\sin \left( \frac{\psi+2k\pi}{n} \right) \right)}\)
Poproszę tylko o jakąś pomoc w przypadku pierwszego.
----
Okej, chyba znalazłem wzór potrzebny do 2 zadania:
\(\displaystyle{ W_{k}=\sqrt[n]{|z|} \left( \cos \left( \frac{\psi+2k\pi}{n} \right) +i\sin \left( \frac{\psi+2k\pi}{n} \right) \right)}\)
Poproszę tylko o jakąś pomoc w przypadku pierwszego.
-
PoweredDragon
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Pierwiastki liczb ujemnych i postać wykładnicza
\(\displaystyle{ e^{ \alpha i} = \cos \alpha + i \sin \alpha}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7916
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Pierwiastki liczb ujemnych i postać wykładnicza
Zadanie 1
Z definicji postaci wykładniczej liczby zespolonej wynika, że liczba \(\displaystyle{ e^{i\phi}}\) ma moduł \(\displaystyle{ 1.}\) Przebiegając wszystkie wartości \(\displaystyle{ \phi}\)- przebiegamy wszystkie liczby o module \(\displaystyle{ 1}\) w \(\displaystyle{ \textbf C.}\)
Geometrycznie liczby te tworzą okrąg o środku w \(\displaystyle{ O}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1.}\)
Wzór ten daje nam podstawową własność symbolu Eulera:
\(\displaystyle{ e^{i\phi}\cdot e^{i\psi} = e^{i(\phi +\psi)}}\)
Z niego wynikają inne pożyteczne wzory:
\(\displaystyle{ (e^{i\phi})^{n} = e^{in\phi}.}\)
\(\displaystyle{ (e^{i\phi})^{-1} = e^{-i\phi}.}\)
\(\displaystyle{ \overline{e^{i\phi}}= e^{-i\phi}.}\)
Z definicji postaci wykładniczej liczby zespolonej wynika, że liczba \(\displaystyle{ e^{i\phi}}\) ma moduł \(\displaystyle{ 1.}\) Przebiegając wszystkie wartości \(\displaystyle{ \phi}\)- przebiegamy wszystkie liczby o module \(\displaystyle{ 1}\) w \(\displaystyle{ \textbf C.}\)
Geometrycznie liczby te tworzą okrąg o środku w \(\displaystyle{ O}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1.}\)
Wzór ten daje nam podstawową własność symbolu Eulera:
\(\displaystyle{ e^{i\phi}\cdot e^{i\psi} = e^{i(\phi +\psi)}}\)
Z niego wynikają inne pożyteczne wzory:
\(\displaystyle{ (e^{i\phi})^{n} = e^{in\phi}.}\)
\(\displaystyle{ (e^{i\phi})^{-1} = e^{-i\phi}.}\)
\(\displaystyle{ \overline{e^{i\phi}}= e^{-i\phi}.}\)