Rozłóż na czynniki liniowe wielomian zespolony

[spejson_]

Rozłóż na czynniki liniowe wielomian zespolony
\(\displaystyle{ W(z) = z ^{3} - 2z ^{2} + 4z - 8}\)
Wyciagnalem przed nawias z-2 i powstaje
\(\displaystyle{ (z ^{2}+4)(z-2)}\)
potem zamieniłem to \(\displaystyle{ z ^{2}+4}\) na \(\displaystyle{ z ^{2} - 4i^2}\)
i dalej poprowadziłem do wyniku \(\displaystyle{ (z-2i)(z+2i)(z-2)}\)
no i ok ale zastanawiałem się czy ten pierwszy krok mogę zrobić z schematu hornera?
(tzn czy mogę tak znalesc pierwiastek 2) no i jak sprawdziłem to wychodzi ze dla 2 jest ok, tylko nie rozumiem jakby czym jest ten pierwiastek? no bo wychodzi ze dla \(\displaystyle{ z=2 w(z) =0}\) ale z = x +iy wiec co oznacza to z=2?
//Bo wgl moja pierwsza mysla było zamienienie każdego z na x + yi i myslalem ze jakos tak to mam zrobić. Już wiem ze nie, ale dalej nie wiem co wlasciwie otrzymałem.

Dzieki za kazda oddp.

[szw1710]

To raczej kiepsko zamieniasz. Mamy \(\displaystyle{ z^2+4=(z-2i)(z+2i)}\). Mimo że końcowy rezultat jest poprawny, droga dojścia do niego jest błędna. Przecież \(\displaystyle{ (2i)^2=-4}\), a nie \(\displaystyle{ 4i}\). Jeśli już chcesz zamieniać, to tak: \(\displaystyle{ z^2+4=z^2-(2i)^2=z^2-4i^2.}\)

[spejson_]

To raczej kiepsko zamieniasz. Mamy \(\displaystyle{ z^2+4=(z-2i)(z+2i)}\). Mimo że końcowy rezultat jest poprawny, droga dojścia do niego jest błędna. Przecież \(\displaystyle{ (2i)^2=-4}\), a nie \(\displaystyle{ 4i}\). Jeśli już chcesz zamieniać, to tak: \(\displaystyle{ z^2+4=z^2-(2i)^2=z^2-4i^2.}\)

tak, zle napisałem nie zaminilem \(\displaystyle{ z^2 + 4 na z^2 +4i}\) tylko \(\displaystyle{ z^2 + 4}\) na \(\displaystyle{ z^2 - 4i^2}\)

//poprawione