Obliczyć cześć urojoną liczby

[Talo]

\(\displaystyle{ \left( \frac{i+ \sqrt{3} }{i-1} \right) ^{32}}\)
Zadaniem jest obliczyć część urojona tej liczby.
Wynik wyszedł mi :
\(\displaystyle{ 2 ^{16}\left( \sin\left( 32\arcsin \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} \right) \right)}\)
Troszeczkę nie pasuje mi tak skomplikowany wynik nie jestem pewny czy dobrze to zrobiłem.
Tutaj moja metoda, którą rozwiązywałem:
\(\displaystyle{ \left( \frac{i+ \sqrt{3} }{i-1} \right) ^{32}= \frac{1- \sqrt{3}- \sqrt{3}i-i }{2}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{\left( \frac{1- \sqrt{3} }{2} \right) ^{2}+\left( \frac{1+ \sqrt{3} }{2} \right) ^{2} } = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{2}+ \sqrt{6} }{4} \Rightarrow \alpha =\arcsin \frac{ \sqrt{2}+ \sqrt{6} }{4}}\)
\(\displaystyle{ Im(z)=2 ^{16}\left( \sin\left( 32\arcsin \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} \right) \right)}\)
Czy jest to dobrze rozwiązane lub czy jest jakiś lepszy sposób na rozwiązanie tego równania?-- 4 lis 2017, o 16:13 --Już doszedłem do tego ze wystarczy to rozpisać na dwie postacie trygonometryczne i wszystko się uprości.
W takim razie moje inne pytanie czy pierwsza metoda jest rozwiązaniem dobrym (niekoniecznie najprostszej postaci)?

[Premislav]

\(\displaystyle{ i+\sqrt{3}=2\left( \cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right) \\i-1=\sqrt{2}\left( \cos \frac{3}{4}\pi+i\sin \frac{3}{4}\pi \right)}\)
Ze wzoru de Moivre'a:
\(\displaystyle{ (i+\sqrt{3})^{32}=2^{32}\left( \cos\left( 32\cdot \frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left( 32\cdot \frac{\pi}{6}\right) \right) \\(i-1)^{32}=2^{16}\left( \cos\left( 32\cdot \frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left( 32\cdot \frac{3\pi}{4}\right)\right)}\)
i stąd już nietrudno wyliczyć
\(\displaystyle{ \Im\left(\left( \frac{i+ \sqrt{3} }{i-1} \right) ^{32}\right)=2^{16}\sin\left( \frac{4}{3}\pi\right) =-2^{16}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-2^{15}\sqrt{3}}\)

-- 4 lis 2017, o 16:22 --

Aha, spóźniłem się. No ja bym nie uznał tej pierwotnej metody (na pewno nie przyznałbym maksymalnej liczby punktów), bo jeszcze powinieneś skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \arcsin\left( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \right)=\frac{5}{12}\pi}\) itd. by dokończyć obliczenia - jak dla mnie to po prostu nie jest doprowadzone do końca.
Ale błędu obliczeniowego nie widzę.

[Talo]

Dziękuje za pomoc
Na ćwiczeniach nie wykonywaliśmy żadnych przykładów z dzieleniem/mnożeniem postaci trygonometrycznej wiec nie zauważyłem tego na początku
Swoją drogą nie wpadłbym na to, że \(\displaystyle{ \arcsin \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4} = \frac{5}{12} \pi}\) ;c

[Premislav]

Ja też na początku nauki bym nie wpadł, ja to skojarzyłem ze wzorem na sinus sumy, bo
\(\displaystyle{ \sin\left( \frac \pi 4+\frac \pi 6\right)=\ldots}\)
ale by to skojarzyć, musiałem oczywiście pamiętać wartości funkcji trygonometrycznych dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\).