Część rzeczywista i urojona liczby z do n potęgi

[marcel0906]

Wyliczyć \(\displaystyle{ \Re(z^n)}\) oraz \(\displaystyle{ Im(z^n)}\) dla \(\displaystyle{ z=a+ib}\)Wskazówka: skorzstaj ze wzoru Newtona.
Rozpisałem to w ten sposób
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}a^{n-k}ib^{k}}\)
Teraz należy wyciągnąć część rzeczywistą i urojoną. Z tym mam problem. Czy mógłby ktoś mnie naprowadzić?

[Igor V]

1. \(\displaystyle{ i}\) podnosi też do potęgi : \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}a^{n-k}(ib)^{k}}\)
2. Zobacz że dowolna potęga \(\displaystyle{ i}\) może mieć tylko jedną z czterech wartości : \(\displaystyle{ 1,i,-1,-i}\). I powtarzają się one cyklicznie.
3. Żeby to zapisać w jakiejść bardziej zwięzłej formie, to trzeba będzie chyba rozbić na przypadek gdy \(\displaystyle{ n = 2k}\) i \(\displaystyle{ n = 2k + 1}\) dla \(\displaystyle{ k \in \NN}\)

[marcel0906]

Dziękuję. Rzeczywiście takie rozbicie prowadzi do poprawnej odpowiedzi.