Dzielenie wilomianów

[wiktor363]

Mamy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(x+1) ^{m}-x^{m}-1}\). Mamy określić dla jakich \(\displaystyle{ m\in\NN}\) będzie on podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ x^{2}+x+1}\).

Moja próba rozwiązania:
Najpierw określamy pierwiastki \(\displaystyle{ x^{2}+x+1}\):

\(\displaystyle{ x _{1}= \frac{-1+ \sqrt{3} i}{2} , x _{1}+1= \frac{1+ \sqrt{3} i}{2} \\
x _{2}= \frac{-1- \sqrt{3} i}{2} , x _{2}+1= \frac{1- \sqrt{3} i}{2}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x _{1}=e ^{ \frac{2 \pi i}{3} } , x _{1}+1=e ^{ \frac{\pi i}{3} } \\
x _{2}=e ^{ \frac{4 \pi i}{3} } , x _{2}+1=e ^{ \frac{5 \pi i}{3} }}\)

Wtedy
\(\displaystyle{ e ^{ \frac{\pi i m}{3} }-e ^{ \frac{2 \pi i m}{3} }=e ^{0} \wedge e ^{ \frac{5 \pi i m}{3} }-e ^{ \frac{4 \pi i m}{3} }=e ^{0}}\)

A z tego wychodziłoby że m to zero (a takie rozwiązanie nie ma chyba sensu), czy ktoś mógłby zerknąć i ocenić poprawność, albo podać lepsze rozwiązanie?

[kerajs]

Wtedy
\(\displaystyle{ e ^{ \frac{\pi i m}{3} }-e ^{ \frac{2 \pi i m}{3} }=e ^{0} \wedge e ^{ \frac{5 \pi i m}{3} }-e ^{ \frac{4 \pi i m}{3} }=e ^{0}}\)

Niech \(\displaystyle{ t=e ^{i \frac{m \pi }{3} } \wedge m \in \NN \setminus \left\{ 0,1\right\}}\) wówczas układ ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} t-t^2=1 \\ t^5-t^4=1 \end{cases}}\)
i dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ t_1=e ^{i \frac{ \pi }{3} } \vee t_2=e ^{i \frac{5 \pi }{3} }}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ e ^{i \frac{m \pi }{3} }=e ^{i \frac{ \pi }{3} } \vee e ^{i \frac{m \pi }{3} }=e ^{i \frac{5 \pi }{3} }}\)
\(\displaystyle{ m \in \left\{ \not 1,7,13,19,25,...,6k+1,...\right\} \vee m \in \left\{ 5,11,17,23,29,...,6k-1,...\right\}}\)

PS
Sam zdecyduj czy \(\displaystyle{ m=0}\) oraz \(\displaystyle{ m=1}\) są rozwiązaniami tego zadania.