Rozwiąż równanie

[Blomex]

Mam do rozwiązania równanie:
\(\displaystyle{ \left( z+i\right) ^{4}= \frac{\left| z\right| ^{8} }{3 ^{4} }}\)


\(\displaystyle{ \left( \frac{\left( 3z+i\right) }{\left| z\right| ^{2} }\right) ^{4}=1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3\left( z+i\right) }{\left| z\right| ^{2} }=e ^{i2 \pi \cdot \frac{k}{4} },k \in \left\{ 0,1,2,3\right\}}\)
Tylko w tym momencie nie wiem co dalej z tym zrobić, żeby wyliczyć z.

[kerajs]

\(\displaystyle{ z=a+ib}\)
1)
\(\displaystyle{ (z+i)= \frac{1}{3} \left| z\right|^2 \cdot 1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \frac{1}{3} \left| z\right|^2 \\ ib+i=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \frac{1}{3}\left(a^2+(-1)^2\right) \\ b=-1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \frac{3- \sqrt{5} }{2} \vee a= \frac{3+ \sqrt{5} }{2} \\ b=-1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z_1=\frac{3- \sqrt{5} }{2} -i\\
z_2=\frac{3+\sqrt{5} }{2} -i}\)
2)
\(\displaystyle{ (z+i)= \frac{1}{3} \left| z\right|^2 \cdot i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 0 \\ b+1=\frac{1}{3} \left| z\right|^2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 0 \\ 3(b+1)=b^2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=0 \\ b= \frac{3-\sqrt{21} }{2} \vee b= \frac{3+\sqrt{21} }{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z_3=i\frac{3- \sqrt{21} }{2} \\
z_4=i\frac{3+\sqrt{21} }{2}}\)
3)
\(\displaystyle{ (z+i)= \frac{1}{3} \left| z\right|^2 \cdot (-1)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \frac{-1}{3} \left| z\right|^2 \\ b=-1\end{cases}}\)
....
4)
\(\displaystyle{ (z+i)= \frac{1}{3} \left| z\right|^2 \cdot (-i)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 0 \\ b+1=\frac{-1}{3} \left| z\right|^2\end{cases}}\)
.....