Postać trygonometryczna

[Piotr206]

Zapisz poniższą liczbę w postaci trygonometrycznej: \(\displaystyle{ 1-\cos \left( \alpha \right) +i\sin \left( \alpha \right)}\)
Po policzeniu modułu i podstawianiu, wyszło mi, że: \(\displaystyle{ |\cos \left( \beta \right) |=\sin \left( \frac{\alpha}{2} \right)}\) i \(\displaystyle{ |\sin \left( \beta \right) |=\cos \left( \frac{\alpha}{2} \right)}\) i nie wiem co dalej.

[Premislav]

\(\displaystyle{ 1-\cos \alpha +i\sin \alpha = \\=r\left(\frac{1-\cos\alpha}{\sqrt{(1-\cos \alpha)^2+\sin^2\alpha}}+i \frac{\sin\alpha}{ \sqrt{(1-\cos \alpha)^2+\sin^2 \alpha}}\right)=\\=r\left(\frac{1-\cos\alpha}{\sqrt{2-2\cos \alpha}}+i \frac{\sin\alpha}{ \sqrt{2-2\cos \alpha}}\right)}\)
i teraz wykorzystaj wzorki:
\(\displaystyle{ 1-\cos \alpha=2\sin^2\left( \frac \alpha 2\right)\\ \sin \alpha=2\sin \frac \alpha 2\cos \frac \alpha 2}\)
itd.
A na końcu \(\displaystyle{ \sin x=\cos\left( \frac \pi 2-x\right)}\)
czy coś w tym stylu.
Nie pisałem drugi raz tego modułu, bo to jakieś jaja i wyskakiwał błąd w formule, a poza tym to lepiej podkreśla, że tamtej części masz już nie ruszać.-- 21 paź 2017, o 23:34 --Aha, tylko pamiętaj, że w rzeczywistych \(\displaystyle{ \sqrt{t^2}=|t|}\), a niekoniecznie \(\displaystyle{ \sqrt{t^2}=t}\). Wiele to nie zmienia, ale można się naciąć.

[Piotr206]

to po przekształceniach tej części rzeczywistej wyszło mi, że \(\displaystyle{ \cos ( \beta )=|\sin ( \alpha )|}\) i ostatecznie będzie \(\displaystyle{ \left| \cos ( \alpha - \frac{ \pi }{2} )\right|}\)?

[Premislav]

Gdyby jeszcze były wątpliwości, to po przekształceniach masz
\(\displaystyle{ 2\left| \sin \frac \alpha 2\right| \left( \left| \sin \frac \alpha 2\right| +i \frac{\sin \frac \alpha 2\cos \frac \alpha 2}{\left| \sin \frac \alpha 2\right| } \right)}\)
i teraz niestety najwyraźniej trzeba rozważyć przypadki:
jeśli \(\displaystyle{ \sin \frac \alpha 2>0}\), to mamy pierwszy przypadek i wystarczy skorzystać
z \(\displaystyle{ \sin x=\cos\left( \frac \pi 2-x\right)}\) itd.
natomiast jeśli \(\displaystyle{ \sin \frac \alpha 2<0}\), to masz
\(\displaystyle{ 2\left| \sin \frac \alpha 2\right|\left(- \sin \frac \alpha 2-i \cos \frac \alpha 2\right)}\)
i wówczas korzystasz z
\(\displaystyle{ -\sin x=\sin(\pi+x)}\)
oraz z
\(\displaystyle{ -\cos x=\cos(\pi+x)}\)


Aha, jeszcze można dodać, że to najwyraźniej nie działa gdy \(\displaystyle{ \cos \alpha=1}\), ale wtedy wyrażenie jest od razu w postaci trygonometrycznej, bez żadnych przekształceń.
No to już wynik powinien być jasny, z mojej strony EOT.