Równanie z sinusem

[ms7]

Do rozwiązania mam takie równanie:

\(\displaystyle{ \sin z=1-i}\)

Przekształcam to następująco:

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ \sin(x+iy)=\sin x \cos(iy)+\cos x \sin(iy)=\sin x \frac{e^{-y}+e^y}{2}-i\cos x \frac{e^{-y}-e^y}{2}}\)

Z tego wnioskuję, że:

\(\displaystyle{ \sin x \frac{e^{-y}+e^y}{2}=1 ~\wedge ~ \cos x\frac{e^{-y}-e^y}{2}=1}\)

no i tutaj nie wiem co dalej z tym zrobić. Mógłby ktoś coś podpowiedzieć?

[a4karo]

Skorzystaj z jedynki trygonometrycznej do wyznaczenia \(\displaystyle{ y}\)

[Premislav]

Na razie OK. Zauważ, że musi być \(\displaystyle{ \sin x>0}\), bo \(\displaystyle{ e^{-y}+e^y>0}\), a zatem
\(\displaystyle{ \sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}}\). Ponadto nietrudno się przekonać (jest to tzw. jedynka hiperboliczna), że
\(\displaystyle{ \frac{e^{-y}+e^y}{2} = \sqrt{1+\left( \frac{e^{-y}-e^y}{2} \right)^2 }}\)
Połóżmy więc \(\displaystyle{ u=\cos x, \ v= \frac{e^{-y}-e^y}{2}}\), a Twój układ równań przyjmie postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{1-u^2} \sqrt{1+v^2} =1 \\uv=1 \end{cases}}\)
- powodzenia.

[Janusz Tracz]

A może spróbuj nie przekształcać tylko szukać od razu całego \(\displaystyle{ z}\).

\(\displaystyle{ \sin z=\sin\left( z+2k\pi\right) = \frac{e^{iz+2k\pi i}-e^{-iz-2k\pi i}}{2i}=1-i}\)

Podstaw \(\displaystyle{ e^{iz+2k\pi i}=t}\) wtedy równanie się uprości do

\(\displaystyle{ \frac{t- \frac{1}{t} }{2i}=1-i}\)

co zamienisz na równanie kwadratowe.
itd.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \frac{e^{i\cdot z}- e^{-i\cdot z}}{2 i} = 1 - i}\) (1)

Mnożymy obustronnie równanie (1) przez czynnik \(\displaystyle{ 6ie^{i\cdot z}}\)

\(\displaystyle{ 3(e^{i\cdot z})^2 - 6(1 +i )e^{i\cdot z}-3 =0.}\)

\(\displaystyle{ (e^{i\cdot z})^2 - 2\cdot 1+ i)\cdot e^{i\cdot z} - 1 =0.}\) (2)

Podstawienie:

\(\displaystyle{ e^{i\cdot z}= u.}\)

Rozwiązanie równania kwadratowego (2).

Na końcu uwzględnienie okresowości funkcji sinus.

[ms7]

Dzięki Panowie, jutro będę działał