Obliczenie wektora zespolonego

[ritsuko]

Witam,

mam do obliczenia wektor zespolony z wektora H:

\(\displaystyle{ \vec{H} = \vec{i_{x}} H_{x0}\cos (\omega t - \beta z) + \vec{i_{y}}H_{y0}\sin (\omega t - \beta z)}\)

w odpowiedziach jest następujące wyrażenie:
\(\displaystyle{ \vec{H_{im}} =\vec{i_{x}} H_{x0}e^{i(\omega t - \beta z)} - i\vec{i_{y}}H_{y0} e^{i(\omega t - \beta z)}}\)

Z których relacji skorzystać, aby wynik wyszedł prawidłowy. Początkowo próbowałem wykorzystać relacje Eulera tylko dla samych funkcji sinus i kosinus:
... %82adnicza

niestety wykorzystanie tych relacji prowadzi do błędnego wyniku.

[janusz47]

Dany jest wektor

\(\displaystyle{ \vec{H} = \vec{i_{x}}\cdot \cos(\omega\cdot t - \beta\cdot z) + \vec{i_{y}}\cdot \sin(\omega \cdot t - \beta\cdot z)}\)

elektromagnetycznej fali płaskiej spolaryzowanej eliptycznie w postaci równania parametrycznego elipsy.

Aby zapisać go w postaci zespolonej:

\(\displaystyle{ \vec{H_{im}} = \vec{H_{o}}\cdot e^{i\cdot \omega\cdot t - \beta\cdot z}}\)

wprowadzamy wektor zespolony:

\(\displaystyle{ \vec{H_{0}}= \vec{i_{x}}\cdot H_{x_{0}}+ i \cdot \vec{i_{y}}\cdot H_{y_{0}}}\)

gdzie wektory:

\(\displaystyle{ \vec{i_{x}}\cdot H_{x_{0}}, \ \ \vec{i_{y}}\cdot H_{y_{0}}}\)

są rzeczywiste i wzajemnie prostopadłe,

bo z warunku:

\(\displaystyle{ |\vec{H_{0}}|^2 \in \set{R^{1}}}\)

wynika, że ich iloczyn skalarny:

\(\displaystyle{ (\vec{i_{x}}\cdot H_{x_{0}})\cdot (\vec{i_{y}}\cdot H_{y_{0}}) = 0.}\)