Znaleźć wszystkie zespolone rozwiązania równania dla parametru \(\displaystyle{ a \neq 0}}\) należącego do zbioru liczb zespolonych \(\displaystyle{ i \overline{z} +\left| z\right| ^{2} -iz + az=0}\).
Nie wiem jak zrobić to zadanie próbowałem rozbijać \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ a}\) na składowe, ale i tak nie widzę rozwiązania.
Rozwiązanie równania
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Rozwiązanie równania
Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\) oraz \(\displaystyle{ a\in\CC \setminus \left\{ 0\right\}}\) wtedy:
\(\displaystyle{ i \overline{z} +\left| z\right| ^{2} -iz + az=0}\)
\(\displaystyle{ i\left( x-iy\right)+x^2+y^2-i\left( x+iy\right)+a\left( x+iy\right)=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2+ax+2y+iay=0}\)
\(\displaystyle{ i \overline{z} +\left| z\right| ^{2} -iz + az=0}\)
\(\displaystyle{ i\left( x-iy\right)+x^2+y^2-i\left( x+iy\right)+a\left( x+iy\right)=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2+ax+2y+iay=0}\)
herezja:
Ostatnio zmieniony 17 paź 2017, o 20:55 przez Janusz Tracz, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 3 paź 2017, o 13:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 15 razy
Re: Rozwiązanie równania
NIe jestem pewien czy ta część jest poprawna...
\(\displaystyle{ x^2+y^2+ax+2y+iay=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+y^2+ax+2y=0\\ ay=0 \Rightarrow y=0 \end{cases}}\)
Przecież \(\displaystyle{ a}\) należy do liczb zespolonych, więc trzeba raczej zapisać \(\displaystyle{ Im(ax)+Im(iay)=0}\) Mógłby ktoś to skomentować?
\(\displaystyle{ x^2+y^2+ax+2y+iay=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+y^2+ax+2y=0\\ ay=0 \Rightarrow y=0 \end{cases}}\)
Przecież \(\displaystyle{ a}\) należy do liczb zespolonych, więc trzeba raczej zapisać \(\displaystyle{ Im(ax)+Im(iay)=0}\) Mógłby ktoś to skomentować?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Rozwiązanie równania
Masz rację. Zapomniałem o założeniu, przepraszam.-- 17 paź 2017, o 20:54 --Jeśli zapiszemy \(\displaystyle{ a=\Re a+i\Im a}\) to można to przepisać w takiej postaci.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+2y-y \cdot \Im a+x \cdot \Re a=0 \\ y \cdot \Re a+x \cdot \Im a=0 \end{cases}}\)
Wydzielając z 2 równania \(\displaystyle{ y}\) lub \(\displaystyle{ x}\) i podstawiając do 1 dostaniesz równie kwadratowe.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+2y-y \cdot \Im a+x \cdot \Re a=0 \\ y \cdot \Re a+x \cdot \Im a=0 \end{cases}}\)
Wydzielając z 2 równania \(\displaystyle{ y}\) lub \(\displaystyle{ x}\) i podstawiając do 1 dostaniesz równie kwadratowe.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Rozwiązanie równania
\(\displaystyle{ i \overline{z} +\left| z\right| ^{2} -iz + az=0\\
az=-\left| z\right| ^{2}-2Im(z)}\)
Aby iloczyn tych zespolonych był rzeczywisty to musi zachodzić:
\(\displaystyle{ a=k \overline{z} \wedge k \in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\)
1)
\(\displaystyle{ k=-1\\
....}\)
2)
\(\displaystyle{ k \neq -1\\
k(x^2+y^2)+x^2+y^2+2y=0\\
(k+1)x^2+(k+1)\left[ (y+ \frac{1}{k+1} )^2- \frac{1}{(k+1)^2} \right]=0\\
x^2+(y+ \frac{1}{k+1})^2= \frac{1}{(k+1)^2}}\)
az=-\left| z\right| ^{2}-2Im(z)}\)
Aby iloczyn tych zespolonych był rzeczywisty to musi zachodzić:
\(\displaystyle{ a=k \overline{z} \wedge k \in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\)
1)
\(\displaystyle{ k=-1\\
....}\)
2)
\(\displaystyle{ k \neq -1\\
k(x^2+y^2)+x^2+y^2+2y=0\\
(k+1)x^2+(k+1)\left[ (y+ \frac{1}{k+1} )^2- \frac{1}{(k+1)^2} \right]=0\\
x^2+(y+ \frac{1}{k+1})^2= \frac{1}{(k+1)^2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 3 paź 2017, o 13:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 15 razy
Rozwiązanie równania
Czyli dobrze rozumiem, że rozwiązaniem równania będą takie z, że \(\displaystyle{ (\overline{z} = -a \wedge Im(z)=0) \vee z=0}\)
Świetne rozwiązanie! Nie wiedziałem, że aby iloczyn tych zespolonych był rzeczywisty to musi zachodzić:\(\displaystyle{ a=k \overline{z} \wedge k \in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\).
Świetne rozwiązanie! Nie wiedziałem, że aby iloczyn tych zespolonych był rzeczywisty to musi zachodzić:\(\displaystyle{ a=k \overline{z} \wedge k \in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\).
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Rozwiązanie równania
1)
Dla \(\displaystyle{ a \neq k\overline{z}}\) jest dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ z=0}\)
2)
Dla \(\displaystyle{ a =-\overline{z}}\) rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista
3)
Dla \(\displaystyle{ a =k\overline{z} \wedge k \in \RR \setminus \left\{ -1,0\right\}}\) jest nieskończenie wiele rozwiązań zespolonych leżących na okręgu wskazanym w poprzednim poscie.
PS
Dla \(\displaystyle{ a \neq k\overline{z}}\) jest dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ z=0}\)
2)
Dla \(\displaystyle{ a =-\overline{z}}\) rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista
3)
Dla \(\displaystyle{ a =k\overline{z} \wedge k \in \RR \setminus \left\{ -1,0\right\}}\) jest nieskończenie wiele rozwiązań zespolonych leżących na okręgu wskazanym w poprzednim poscie.
PS
Niech iloczyn \(\displaystyle{ pq}\) dwóch liczb zespolonych daje rzeczywisty wynik. Zastanów się jaka musi być zależność między ich argumentami (kątami).Nie wiedziałem, że aby iloczyn tych zespolonych był rzeczywisty to musi zachodzić...