Rozwiązać równania :
a)\(\displaystyle{ z^{11}=\overline{z}}\)
b)\(\displaystyle{ 4z=\overline{z}^3}\)
Serdecznie proszę o wskazówki do zadań tego typu
Rozwiązać równania
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Rozwiązać równania
Wygodnie przejść na postać wykładnicza tj. \(\displaystyle{ z=re^{i\phi}}\) by nie pogubić rozwiązań warto też zapisać że \(\displaystyle{ z=e^{i\phi+2k\pi i}}\). Liczby zespolona są równe gdy ich moduł i argument są równe.
a)
\(\displaystyle{ r^{11}e^{11i\phi+2k\pi i}=re^{-i\phi}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} r^{11}=r \\ 11i\phi+2k\pi i=-i\phi \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=1 \vee r=0\\ \phi= \frac{k\pi}{6} \end{cases}}\)
Czyli rozwiązaniem są liczby \(\displaystyle{ z=0}\) i wszystkie liczby leżące na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) co kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\)
b) podobnie.
a)
\(\displaystyle{ r^{11}e^{11i\phi+2k\pi i}=re^{-i\phi}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} r^{11}=r \\ 11i\phi+2k\pi i=-i\phi \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=1 \vee r=0\\ \phi= \frac{k\pi}{6} \end{cases}}\)
Czyli rozwiązaniem są liczby \(\displaystyle{ z=0}\) i wszystkie liczby leżące na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) co kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\)
b) podobnie.