Liczby zespolone brak rozwiązań

[Kilgharrah]

Cześć.
Mam problem z liczbami zespolonymi, przykładem jest zadanie wyznacz wektor, argument, postać trygonometryczną i wykładniczą.
Ogólnie potrafię to wszystko zrobić lecz mam wyjątki takie, że nie wiem jak wyliczyć te zadania :

a) \(\displaystyle{ z=-1}\)
b) \(\displaystyle{ z=- \sqrt{2} +i \sqrt{2}}\)

W podpunkcie a mam pytanie aby się upewnić że mam dobry wynik:
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{1}}\)
\(\displaystyle{ argz = \pi}\)
Postać trygonometryczna : \(\displaystyle{ z= \sqrt{1} (\cos \pi +i\sin \pi )}\)
Postać wykładnicza: \(\displaystyle{ z= \sqrt{1}e ^{i \pi }}\)


W podpunkcie b \(\displaystyle{ \cos \phi = -\frac12}\) a \(\displaystyle{ \sin \phi=\frac12}\) , w takim wypadku nigdzie się nie spotykają i nie da się wyliczyć \(\displaystyle{ \phi,}\) znowu robię coś nie tak?

Dzięki za pomoc i pozdrawiam.

[SlotaWoj]

Dla liczby zespolonej:

• \(\displaystyle{ z=a+bi}\)

jej argument jest równy:

• \(\displaystyle{ \text{Arg}\;z=\varphi=\begin{cases}\arctg\frac{b}{a},\quad\quad\quad\!\mbox{gdy}\quad a>0 \\
  \arctg}\frac{b}{a}+\pi,\quad\mbox{gdy}\quad a< 0\end{cases}}\)

[Kilgharrah]

Czyli korzystając z Twojego wzoru w tym wypadku:
\(\displaystyle{ z=- \sqrt{2} +i \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ Arg z = arc tg \pi -1}\)

Jak to wyszukać na wykresie tangesa?

[janusz47]

a.
Jeśli narysujemy w płaszczyźnie Gaussa wektor \(\displaystyle{ z =[-1, 0]}\) to co stwierdzimy?


Jego długość wynosi \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(-1)^2 +0^2}= 1.}\)

Tworzy on z wektorem \(\displaystyle{ \vec{e}_{1} = [1, 0]}\) ( licząc od tego wektora i posuwając się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara) - kąt \(\displaystyle{ \pi}\).

Co wynika również z rozwiązania układu równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} \cos (\phi)=\frac{x}{|z|} =\frac{-1}{1}=-1\\ \sin (\phi) = \frac{y}{|z|} = \frac{0}{1}= 0\end{matrix} \right.}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ z = -1 = -1 + 0\cdot i = 1\cdot [\cos (\pi) +i \cdot \sin (\pi)] = 1\cdot e^{i\cdot \pi}.}\)

b.
Rozumując podobnie, przedstaw: postać graficzną, trygonometryczną i wykładniczą liczby zespolonej \(\displaystyle{ z = -\sqrt{2} +i\cdot \sqrt{2}.}\)

[a4karo]

Nie może być \(\displaystyle{ \cos\phi=\sin\phi=\frac12}\) z powodu jedynki trygonometrycznej

[Kilgharrah]

janusz47
W rozwiązaniu zapisane mam dobrze, czyli 1 zamiast \(\displaystyle{ \sqrt{1}}\)
Tylko tutaj taki błąd popełniłem.


Dzięki wszystkim, już mam wszystko dobrze.
Przez nieuwagę w b) \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) wyszedł mi \(\displaystyle{ \sqrt{8}}\) , a prawidłowy to \(\displaystyle{ \left| z\right| = 2}\)

Jeszcze raz dzięki wielkie.