Chcę rozwiązać w liczbach zespolonych równanie:
\(\displaystyle{ |z|^6=z^6}\)
pierwiastkuje to stronami i mam:
\(\displaystyle{ z=\sqrt[6]{|z|^6}}\),
moje pytanie brzmi, czy prawa strona jest równa \(\displaystyle{ |z|}\), czy może powinienem policzyć aż 6 pierwiastków z \(\displaystyle{ |z|^6}\)?
Pierwiastkowanie stronami
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Pierwiastkowanie stronami
Algebraicznym pierwiastkiem \(\displaystyle{ n-}\) tego stopnia z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\) nazywamy taką liczbę zespoloną \(\displaystyle{ w,}\) dla której \(\displaystyle{ z = w^{n}}\)
W definicji pierwiastka z liczby zespolonej nie występuje \(\displaystyle{ |z|,}\) stąd wnioskujemy, że prawa strona jest równa \(\displaystyle{ |z|.}\)
W definicji pierwiastka z liczby zespolonej nie występuje \(\displaystyle{ |z|,}\) stąd wnioskujemy, że prawa strona jest równa \(\displaystyle{ |z|.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 290
- Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 179 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Pierwiastkowanie stronami
Nie do końca rozumiem tę argumentację.
Kiedy w przypadku takiego pierwiastkowania mogę po prostu ,,skrócić" pierwiastek z potęgą, a kiedy mam obliczać \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków?
Kiedy w przypadku takiego pierwiastkowania mogę po prostu ,,skrócić" pierwiastek z potęgą, a kiedy mam obliczać \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Pierwiastkowanie stronami
To zauważ, że jak zamiast \(\displaystyle{ z}\) napiszesz \(\displaystyle{ tz}\), gdzie \(\displaystyle{ t\in \RR}\) to równanie się nie zmieni. To znaczy, że możesz znależć rozwiązania z \(\displaystyle{ |z|=1}\) a potem...
-
- Użytkownik
- Posty: 290
- Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 179 razy
- Pomógł: 5 razy
Pierwiastkowanie stronami
Zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ |z|(\cos{\frac{k\pi}{3}}+i \sin{\frac{k\pi}{3}})=z}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\{1,2,\ldots,5\}}\)
Wtedy dla np. \(\displaystyle{ k=1}\):
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos{\frac{\pi}{3}}+i \sin{\frac{\pi}{3}})}\)
więc \(\displaystyle{ z}\) jest dowolną liczbą dla której kąt nachylenia do \(\displaystyle{ OX}\) wynosi w tym przypadku \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\), czyli ostatecznie dla \(\displaystyle{ k=1}\) mam \(\displaystyle{ z=a(\cos{\frac{\pi}{3}}+i \sin{\frac{\pi}{3}})}\), gdzie \(\displaystyle{ a \ge 0}\) ?
I później analogicznie dla kolejnych \(\displaystyle{ k}\).
To jest okej, czy gdzieś coś źle zrozumiałem i wyciągnąłem błędne wnioski?
\(\displaystyle{ |z|(\cos{\frac{k\pi}{3}}+i \sin{\frac{k\pi}{3}})=z}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\{1,2,\ldots,5\}}\)
Wtedy dla np. \(\displaystyle{ k=1}\):
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos{\frac{\pi}{3}}+i \sin{\frac{\pi}{3}})}\)
więc \(\displaystyle{ z}\) jest dowolną liczbą dla której kąt nachylenia do \(\displaystyle{ OX}\) wynosi w tym przypadku \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\), czyli ostatecznie dla \(\displaystyle{ k=1}\) mam \(\displaystyle{ z=a(\cos{\frac{\pi}{3}}+i \sin{\frac{\pi}{3}})}\), gdzie \(\displaystyle{ a \ge 0}\) ?
I później analogicznie dla kolejnych \(\displaystyle{ k}\).
To jest okej, czy gdzieś coś źle zrozumiałem i wyciągnąłem błędne wnioski?