Pierwiastkowanie stronami

[ms7]

Chcę rozwiązać w liczbach zespolonych równanie:
\(\displaystyle{ |z|^6=z^6}\)
pierwiastkuje to stronami i mam:
\(\displaystyle{ z=\sqrt[6]{|z|^6}}\),
moje pytanie brzmi, czy prawa strona jest równa \(\displaystyle{ |z|}\), czy może powinienem policzyć aż 6 pierwiastków z \(\displaystyle{ |z|^6}\)?

[janusz47]

Algebraicznym pierwiastkiem \(\displaystyle{ n-}\) tego stopnia z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\) nazywamy taką liczbę zespoloną \(\displaystyle{ w,}\) dla której \(\displaystyle{ z = w^{n}}\)

W definicji pierwiastka z liczby zespolonej nie występuje \(\displaystyle{ |z|,}\) stąd wnioskujemy, że prawa strona jest równa \(\displaystyle{ |z|.}\)

[ms7]

Nie do końca rozumiem tę argumentację.
Kiedy w przypadku takiego pierwiastkowania mogę po prostu ,,skrócić" pierwiastek z potęgą, a kiedy mam obliczać \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków?

[a4karo]

Zapisz to równanie tak:
\(\displaystyle{ 1=\left(\frac{z}{|z|}\right)^6}\)

Umiesz policzyć pierwiastki z jedynki?

[ms7]

Umiem, ale nadal będę miał \(\displaystyle{ |z|}\) którego nie wiem jak się pozbyć.

[a4karo]

To zauważ, że jak zamiast \(\displaystyle{ z}\) napiszesz \(\displaystyle{ tz}\), gdzie \(\displaystyle{ t\in \RR}\) to równanie się nie zmieni. To znaczy, że możesz znależć rozwiązania z \(\displaystyle{ |z|=1}\) a potem...

[ms7]

Zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ |z|(\cos{\frac{k\pi}{3}}+i \sin{\frac{k\pi}{3}})=z}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\{1,2,\ldots,5\}}\)

Wtedy dla np. \(\displaystyle{ k=1}\):

\(\displaystyle{ z=|z|(\cos{\frac{\pi}{3}}+i \sin{\frac{\pi}{3}})}\)
więc \(\displaystyle{ z}\) jest dowolną liczbą dla której kąt nachylenia do \(\displaystyle{ OX}\) wynosi w tym przypadku \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\), czyli ostatecznie dla \(\displaystyle{ k=1}\) mam \(\displaystyle{ z=a(\cos{\frac{\pi}{3}}+i \sin{\frac{\pi}{3}})}\), gdzie \(\displaystyle{ a \ge 0}\) ?
I później analogicznie dla kolejnych \(\displaystyle{ k}\).

To jest okej, czy gdzieś coś źle zrozumiałem i wyciągnąłem błędne wnioski?

[a4karo]

Jest ok, tylko musisz jeszcze \(\displaystyle{ k=0}\) dorzucić.