proste równanie zespolone

[Wojtek1324]

Witam. Proszę o pomoc w rozwiązaniu równania
\(\displaystyle{ x^2+(2-i)x+3-i=0}\)
Obliczam deltę i wychodzi \(\displaystyle{ -9}\)
Proszę o pomoc w obliczeniu pierwiastka z \(\displaystyle{ -9}\) oraz wartości \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\).

[Janusz Tracz]

1) Popraw wiadomość i zapisz ją w Latexie.
2) \(\displaystyle{ -9=9i^2=\left( 3i\right)^2}\) więc jeden z dwóch pierwiastków to \(\displaystyle{ \sqrt{-9}=3i}\)
3) Dalej postępuj tak samo jak przy standardowym rozwiązywaniu równania kwadratowego.

[Wojtek1324]

Jej wynik to
\(\displaystyle{ x_1=-2\\
x_2=1}\)
a moim zdaniem powinno być
\(\displaystyle{ x_1=-1-i\\
x_2=-1+i}\)
Kto z nas ma rację?

[Janusz Tracz]

1*) Popraw zapis w Latex bo wiadomość zostanie usunięta. Wyrażenia matematyczne musisz obtoczyć napisem [tex][/tex].

Prawdą jest że \(\displaystyle{ \sqrt{-9}=3i}\) gdzie liczbę \(\displaystyle{ i}\) z definicji rozumiemy jako \(\displaystyle{ i^2=-1}\). Prawdą jest również że \(\displaystyle{ \sqrt{-9}=-3i}\) (ale nie ma to znaczenie przy rozwiązywaniu równań kwadratowych). Dlatego Twoja znajoma nie ma do końca racji że \(\displaystyle{ \sqrt{-9}=\left\{ -3,3\right\}}\) ale na pochwałę zasłużyła bo podkreśliła fakt że \(\displaystyle{ \sqrt{-9}}\) nie jest jedną konkretną liczbą a zbiorem liczb takich że podniesione do kwadratu dadzą \(\displaystyle{ -9}\). Stąd wniosek że \(\displaystyle{ \sqrt{-9}=\left\{ -3i, 3i\right\}}\) choć tak jak już wspominałem wystarczy Ci tylko jeden pierwiastek by zrobić zadanie.

Może warto jeszcze odwrócić to rozumowanie zauważ że jeśli \(\displaystyle{ i^2=-1}\) to \(\displaystyle{ \left( 3i\right)^2=-9}\) ale oczywiście \(\displaystyle{ \left(-3i\right)^2=-9}\) stąd właśnie dwa rozwiązania.

[Wojtek1324]

Dziękuję za szybką odpowiedź. Czy ktoś odpowie jeszcze na moje ostatnie pytanie?

[Janusz Tracz]

Żadne z Was nie ma racji takie dylematy bardzo łatwo rozstrzygnąć po prostu wstawiając rozwiązania do równania i sprawdzając czy są prawdziwe. Wynik to \(\displaystyle{ x=-1-i}\) lub \(\displaystyle{ x=-1+2i}\). Zauważ że \(\displaystyle{ x^2+(2-i)x+3-i=\left( x+1+i \right)\cdot \left(x+1-2i \right)}\).

[Wojtek1324]

Dziękuję za pomoc.-- 20 wrz 2017, o 10:46 --Witam. Dlaczego wynikiem tego równania jest
\(\displaystyle{ x=-1-i lub x=-1+2i}\) skoro zgodnie z twierdzeniem, że jeśli liczba zespolona jest pierwiastkiem wielomianu to liczba do niej sprzęzona również jest pierwiastkiem wielomianu
powinno wychodzić
\(\displaystyle{ x=-1+2i lub x=-1-2i}\)
albo
\(\displaystyle{ x=-1-i lub x=-1+i}\)