Postać trygonometryczna

[tomek1172]

Dla podanej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\) podać najmniejszą taką liczbę całkowitą dodatnią \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ (z+1)^n}\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

\(\displaystyle{ a) z=\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}}\).

Zadania z innymi przykładami robię tak: zamieniam \(\displaystyle{ (z+1)}\) na postać trygonometryczną i następnie patrzę dla jakiego \(\displaystyle{ n}\) spełnione będą warunki zadania. Zawsze tak wychodzi.

Jednak w tym przykładzie nie potrafię znaleźć argumentu...

Wychodzi mi, że
\(\displaystyle{ sin \phi=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}}\)

Można jakoś dojść jaki to jest kąt w radianach? A może inna metoda na to zadanie?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{ 2 - \sqrt{3}}}{2}= sin( 15^{o})= sin\left( \frac{\pi}{12}\right).}\)

[tomek1172]

w jaki sposób do tego dojść?

[PoweredDragon]

To jest jedna z "częstszych" "niestandardowych" wartości - wypada to wiedzieć lub szacować i obliczyć

[janusz47]

Ze wzoru na kosinus podwojonego argumentu:

\(\displaystyle{ \cos(30^{o})= \cos(2\cdot 15^{o}) = 1 - 2\sin^2(15^{o}).}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 -2\sin^2(15^{o}),}\)

\(\displaystyle{ 2\sin^2(15^{o})= 1 - \frac{\sqrt{3}}{2},}\)

\(\displaystyle{ \sin^2(15^{o}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4},}\)

\(\displaystyle{ \sin(15^{o}) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}.}\).

[Janusz Tracz]

Albo \(\displaystyle{ \sin 15^{\circ}=\sin\left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=...}\) z wzoru na sinus różnicy.

[janusz47]

Z tego wzoru otrzymujemy inną postać wartości sinusa piętnastu stopni.

\(\displaystyle{ \sin(15^{o}) = \frac{\sqrt{6} -\sqrt{2}}{4}.}\)

Postacie są równoważne ale to wymaga przekształceń.