Nierówność z cosinusem

[ZygzakowyAndrzej]

Witam,

W czerwcu na egzaminie z matematyki (II semestr) mieliśmy taki przykład:

\(\displaystyle{ | \cos z | \ge 1}\)

Niestety egzamin nie powiódł się mi, jak i 70% roku Można prosić jakąś wskazówkę co do tego przykładu?

Pozdrawiam

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ \left| \cos z\right| = \sqrt{\cos^2x + \sinh^2y}}\) dla \(\displaystyle{ z = x + yi}\)

[ZygzakowyAndrzej]

Za bardzo mi to nie mówi nic niestety...

Treść całego zadania brzmi:

Wykaż, że na całej osi urojonej zachodzi nierówność... (patrz wyżej).

[PoweredDragon]

na osi urojonej mamy \(\displaystyle{ x = 0}\), więc \(\displaystyle{ \cos^2 x = 1}\)...

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \cos\left( x+iy\right)}\) na osi urojonej przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \cos \left( 0+iy\right)=\cos iy=\text{ch}y}\). A ponieważ \(\displaystyle{ \left| \text{ch}y\right|=\text{ch}y}\) to do pokazania jest taka nierówność \(\displaystyle{ \text{ch}y \ge 1}\). Korzystając z definicji funkcji hiperbolicznej \(\displaystyle{ \text{ch}y= \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}}\) mamy pokazać że

\(\displaystyle{ \frac{e^{y}+e^{-y}}{2} \ge 1}\)

\(\displaystyle{ e^{y}+e^{-y} \ge 2}\)

\(\displaystyle{ e^{y}-2+e^{-y} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \left( e^{ \frac{y}{2}}-e^{ -\frac{y}{2}}\right)^2 \ge 0}\)

Co kończy dowód.

[ZygzakowyAndrzej]

Dziękuję Ci bardzo