Rozwiązać równanie.

[deyna18]

Witam.
Mam do rozwiązania takie równanie:
Mógłby ktoś zerknąć czy dobrze to robię?

\(\displaystyle{ z ^{2}- \left| z \right| ^{2} +i \cdot \Re\left( z\right) =-4 \cdot \overline{z}}\)

\(\displaystyle{ x+iy-\left( \sqrt{x^2+y^2} \right)^2 +i \cdot x=-4 \cdot x-iy}\)

Wychodzę na coś takiego.

\(\displaystyle{ x+iy-x^2+y^2 +ix=-4x-iy}\)

Przenoszę \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ iy}\) na prawo trochę redukując to równanie.

\(\displaystyle{ -x^2+y^2 +ix=-3x}\)

I teraz porównuje rzeczywiste do rzeczywistych i urojone do urojonych? :

Dostaję takie równanie:

\(\displaystyle{ -x^2+y^2=-3x}\)
\(\displaystyle{ ix=0}\)

I dalej nie wiem jak. Dobrze jest do tego momentu?

[Pakro]

Pierwszego \(\displaystyle{ z}\) nie podnioslłes do kwadratu. Nie wymnożyłeś tego \(\displaystyle{ \overline{z}}\) przez \(\displaystyle{ -4}\).

[deyna18]

\(\displaystyle{ z ^{2}- \left| z \right| ^{2} +i \cdot \Re\left( z\right) =-4 \cdot \overline{z}}\)

\(\displaystyle{ x^2+2x-y-\left( \sqrt{x^2+y^2} \right)^2 +i \cdot x=-4 \cdot (x-iy)}\)

Wychodzę na coś takiego.

\(\displaystyle{ x^2+2x-y-x^2+y^2 +ix=-4x+4iy}\)

Przenoszę \(\displaystyle{ 2x}\) na prawo trochę redukując to równanie i \(\displaystyle{ x^2}\) się skracają.

\(\displaystyle{ -y+y^2 +ix=-6x+4iy}\)

I teraz porównuje rzeczywiste do rzeczywistych i urojone do urojonych? :

Dostaję takie równanie:

\(\displaystyle{ -y+y^2=-6x \\
ix=4iy}\)

I dalej nie wiem jak. Dobrze jest do tego momentu?

[Benny01]

\(\displaystyle{ z ^{2}- \left| z \right| ^{2} +i \cdot \Re\left( z\right) =-4 \cdot \overline{z} \\
x^2+2ixy-y^2-x^2-y^2+ix=-4x+4iy \\
-2y^2+2ixy+ix+4x-4iy=0 \\
-2y^2+4x+i(2xy+x-4y)=0 \\
\begin{cases} y^2=2x \\ 2xy+x-4y=0 \end{cases}}\)

[deyna18]

Teraz z równania \(\displaystyle{ y^2=2x}\) musimy wyliczyć \(\displaystyle{ y^2}\) ?
Jak to zrobić?

[a4karo]

Przecież masz \(\displaystyle{ x}\) z pierwszego równania

[deyna18]

z pierwszego \(\displaystyle{ x=- \frac{y^2}{2}}\) ?

[a4karo]

Nie. Masz aż takie problemy z podstawami algebry?

[Premislav]

Jeśli masz aż takie problemy z podstawami algebry, to polecam książkę Aleksieja Iwanowicza Kostrikina
Wstęp do algebry. Podstawy algebry - w sam raz na nadrobienie braków ze szkoły. xDDD

Moim zdaniem to zadanie ładniej wychodzi w postaci wykładniczej, tj. wstawiamy
\(\displaystyle{ z=re^{it}, r>0, t in [0,2pi)}\), wtedy \(\displaystyle{ \bar{z}=re^{-it}, \ Re(z)=r\cos(t), |z|=r}\)
i tak dalej...

[deyna18]

\(\displaystyle{ z ^{2}- \left| z \right| ^{2} +i \cdot Re\left( z\right) =-4 \cdot \overline{z}}\)
\(\displaystyle{ x^2+2ixy-y^2-x^2-y^2+ix=-4x+4iy}\)
\(\displaystyle{ -2y^2+2ixy+ix+4x-4iy=0}\)
\(\displaystyle{ -2y^2+4x+i(2xy+x-4y)=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2=2x \\ 2xy+x-4y=0 \end{cases}}\)

Mógłby ktoś mi pomóc jak rozwiązać to dalej? jak rozwiązać ten układ równań?

[PoweredDragon]

Robisz równanie sześcienne zmiennej y
\(\displaystyle{ x = \frac{y^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ y^3+\frac{1}{2}y^2-4y = 0}\)

[deyna18]

Czyli:

\(\displaystyle{ y^3+ \frac{1}{2}^2 y - 4y = 0 \\
y(y^2 + \frac{1}{2} y - 4) = 0}\)

To \(\displaystyle{ y}\) z przed nawiasu \(\displaystyle{ y_1=0}\) a z nawiasu wyliczamy deltę.

\(\displaystyle{ \delta= \frac{1}{4}-4 \cdot 1-4= \frac{65}{4}}\) ?

To:

\(\displaystyle{ y_2= \frac{- \frac{1}{2}+ \sqrt{ \frac{65}{4} } }{2}}\)

\(\displaystyle{ y_3= \frac{- \frac{1}{2}- \sqrt{ \frac{65}{4} } }{2}}\)

Dobrze to wyliczyłem? bo dziwnie coś wyszedł ten wynik

[deyna18]

Czyli:

\(\displaystyle{ y^3+ \frac{1}{2}^2 y - 4y = 0}\)
\(\displaystyle{ y(y^2 + \frac{1}{2} y - 4) = 0}\)

To \(\displaystyle{ y}\) z przed nawiasu \(\displaystyle{ y1=0}\) a z nawiasu wyliczamy deltę.

\(\displaystyle{ \delta= \frac{1}{4}-4*1-4= \frac{65}{4}}\) ?

To:

\(\displaystyle{ y2= \frac{- \frac{1}{2}+ \sqrt{ \frac{65}{4} } }{2}}\)

\(\displaystyle{ y3= \frac{- \frac{1}{2}- \sqrt{ \frac{65}{4} } }{2}}\)

Dobrze to wyliczyłem? bo dziwnie coś wyszedł ten wynik

Mógłby ktoś to sprawdzić czy dobrze to wyliczyłem?

[Premislav]

Tak, dobrze. Do takich rzeczy polecam wolfram|alpha
Przykład:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%5E3%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dy%5E2+-+4y+%3D+0