Nierówności równoważne
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11266
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3143 razy
- Pomógł: 747 razy
Nierówności równoważne
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ \frac{1}{z}+ \frac{1}{\overline{z}}< 2}\) to \(\displaystyle{ |z - \frac{1}{2}| > \frac{1}{2}}\) i na odwrót
-
- Użytkownik
- Posty: 351
- Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 94 razy
Re: Nierówności równoważne
Z pierwszej nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{1}{z}+\frac{1}{\overline{z}}= \frac{z+\overline{z}}{z\overline{z}}= \frac{2Re(z)}{Re(z) ^{2} + Im(z)^{2}} < 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{2Re(z)}{Re(z) ^{2} + Im(z)^{2}} < 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{Re(z)}{Re(z) ^{2} + Im(z)^{2}} < 1}\)
\(\displaystyle{ Re(z) < Re(z)}{Re(z) ^{2} + Im(z)^{2}}\)
Z drugiej nierówności:
\(\displaystyle{ \left| z- \frac{1}{2} \right|> \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ {\left| z- \frac{1}{2} \right|}^{2} > {\frac{1}{2}}^{2}}\)
\(\displaystyle{ (Re(z)-\frac{1}{2})^2 + Im(z)^2 > {\frac{1}{2}}^{2}}\)
\(\displaystyle{ Re(z)^2-Re(z) + \frac{1}{4} + Im(z)^2 > \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ Re(z)^2 + Im(z)^2 > Re(z)}\)
Obie nierówności są tożsame QED
\(\displaystyle{ \frac{1}{z}+\frac{1}{\overline{z}}= \frac{z+\overline{z}}{z\overline{z}}= \frac{2Re(z)}{Re(z) ^{2} + Im(z)^{2}} < 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{2Re(z)}{Re(z) ^{2} + Im(z)^{2}} < 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{Re(z)}{Re(z) ^{2} + Im(z)^{2}} < 1}\)
\(\displaystyle{ Re(z) < Re(z)}{Re(z) ^{2} + Im(z)^{2}}\)
Z drugiej nierówności:
\(\displaystyle{ \left| z- \frac{1}{2} \right|> \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ {\left| z- \frac{1}{2} \right|}^{2} > {\frac{1}{2}}^{2}}\)
\(\displaystyle{ (Re(z)-\frac{1}{2})^2 + Im(z)^2 > {\frac{1}{2}}^{2}}\)
\(\displaystyle{ Re(z)^2-Re(z) + \frac{1}{4} + Im(z)^2 > \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ Re(z)^2 + Im(z)^2 > Re(z)}\)
Obie nierówności są tożsame QED
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
Re: Nierówności równoważne
Można też z interpretacji geometrycznej.
\(\displaystyle{ Re(z) < Re(z) ^{2} + Im(z)^{2} \\ \left( Re(z)- \frac{1}{2}\right)^{2} + Im(z)^{2} > \left( \frac{1}{2}\right)^2}\)
Obszar na płaszczyźnie bez koła.
\(\displaystyle{ Re(z) < Re(z) ^{2} + Im(z)^{2} \\ \left( Re(z)- \frac{1}{2}\right)^{2} + Im(z)^{2} > \left( \frac{1}{2}\right)^2}\)
Obszar na płaszczyźnie bez koła.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Nierówności równoważne
Nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{z}+\frac{1}{\overline{z}}>2}\) jest równoważna nierówności \(\displaystyle{ \Re{\frac{1}{\overline{z}}}>1}\)
Odwzorowanie \(\displaystyle{ z\mapsto 1/\overline{z}}\) jest inversją względem okręgu jednostkowego. A obrazem koła o promieniu \(\displaystyle{ 1/2}\) i środku \(\displaystyle{ 1/2}\) jest półpłaszczyzna \(\displaystyle{ \Re{z}\geq 1}\), co kończy dowód
Odwzorowanie \(\displaystyle{ z\mapsto 1/\overline{z}}\) jest inversją względem okręgu jednostkowego. A obrazem koła o promieniu \(\displaystyle{ 1/2}\) i środku \(\displaystyle{ 1/2}\) jest półpłaszczyzna \(\displaystyle{ \Re{z}\geq 1}\), co kończy dowód