narysować zbiór liczb na płaszczyźnie zespolonej

[yaress]

Witajcie,
Mam problem z rozwiązaniem nierówności:
\(\displaystyle{ Re \left( z^{3}\right) \ge Im\left( z^{3}\right)}\)

Dochodzę w tym równaniu do momentu:
\(\displaystyle{ \left( x+y\right)\left( x^{2}-xy+ y^{2} \right)-3xy\left( x+y\right) \ge 0}\)
i nie wiem co dalej.
Czy mógłbym poprosić o wskazówkę?

[kerajs]

\(\displaystyle{ (x+y)(x^2-4xy+y^2) \ge 0\\
(x+y)((x-2y)^2-3y^2) \ge 0\\
(x+y)(x-y(2+ \sqrt{3}))(x-y(2- \sqrt{3})) \ge 0\\}\)

[yaress]

tyle to ja przeczytałem tylko skąd to \(\displaystyle{ (x+y)(x^2-4xy+y^2) \ge 0}\) się bierze?
Dlaczego nie ma już tego \(\displaystyle{ -3xy\left( x+y\right)}\)?

Jak przekształcić \(\displaystyle{ (x+y)(x^2-4xy+y^2)}\) w to \(\displaystyle{ (x+y)((x-2y)^2-3y^2)}\) i potem w to\(\displaystyle{ (x+y)(x-y(2+ \sqrt{3}))(x-y(2- \sqrt{3}))}\)

[mortan517]

1. Wyłączasz czynnik \(\displaystyle{ x+y}\) przed nawias
2. Dodajesz i odejmujesz takie czynniki aby doprowadzić do wzoru skróconego mnożenia
3. Wzór na różnicę kwadratów

[yorgin]

Powyższa metoda jest strasznie skomplikowana (subiektywna ocena).

Niech \(\displaystyle{ z=r(\cos t +i\sin t)}\)

Wtedy \(\displaystyle{ z^3=r^3(\cos 3t+i\sin 3t)}\)

Nierówność wyjściowa zaminenia się na

\(\displaystyle{ r^3\cos 3t\geq r^3\sin 3t}\)

czyli (\(\displaystyle{ r=0}\) spełnia)

\(\displaystyle{ \cos 3t\geq \sin 3t}\).

A to już standardowa szkolna nierówność.

[yaress]

Poradziłem sobie .
Bardzo dziękuję za podpowiedzi.