Liczby zespolone - rozwiąż równanie.

[deyna18]

Cześć
Mógłby ktoś mi pomóc rozwiązać te równanie?

\(\displaystyle{ |z+1+i|=|z+3|}\)

[szw1710]

Popraw LaTeX.

Wskazówka: równanie ma ładną interpretację geometryczną. Zważ, że \(\displaystyle{ |z-w|}\) to odległość punktów \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ w}\) na płaszczyźnie zespolonej.

[deyna18]

jest moduł to teraz trzeba dać to pod pierwiastek:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+iy+1+i} = \sqrt{x+iy+3}}\)

I dalej nie wiem co robić? pomnożyć to przez \(\displaystyle{ (...)^2}\) ??

[Premislav]

No cóż, nie skorzystałeś ze wskazówki szw1710.
Poza tym jeśli \(\displaystyle{ \CC \ni z=x+iy}\) gdzie \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\), to zachodzi
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{x^2+y^2}}\), a nie "\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{x+iy}}\)"-- 16 cze 2017, o 10:21 --No i potem to można podnieść stronami do kwadratu i uporządkować, ale to brzydkie (choć skuteczne). Otrzymasz pewną prostą na płaszczyźnie zespolonej.

[deyna18]

Czyli:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+1)^2 + (y+1)^2}=\sqrt{(x+3)^2 + y^2}}\)
?

-- 16 cze 2017, o 10:29 --

Teraz to wymnożę/

-- 16 cze 2017, o 10:36 --

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+2x+1+y^2+2y+1}=\sqrt{x^2+6x+9+y^2}}\)

I teraz to pomnożyć przez kwadrat?

-- 16 cze 2017, o 10:38 --

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+2x+1+y^2+2y+1}=\sqrt{x^2+6x+9+y^2}/(..)^2}\)

\(\displaystyle{ x^2+2x+1+y^2+2y+1=x^2+6x+9+y^2}\)

Doszedłem do czegoś takiego i dalej nie wiem co dalej.

[Premislav]

Na razie jest dobrze, z dokładnością do tego, że nie mówi się (ani nie pisze się) "pomnożyć przez kwadrat". Podnosisz obustronnie do kwadratu.
Przenieś na jedną stronę wszystko z \(\displaystyle{ x}\), a na drugą wszystko z \(\displaystyle{ y}\) i po redukcji wyrazów podobnych otrzymasz równanie prostej na płaszczyźnie zespolonej (no, jeszcze np. będzie trzeba podzielić przez coś stronami).

[deyna18]

po przeniesieniu;
\(\displaystyle{ -4x=-2y+6}\)
teraz dziele obustronnie przez \(\displaystyle{ 2}\)
czyli: \(\displaystyle{ y=2x+3}\)?-- 16 cze 2017, o 11:28 --I co dalej?

[szw1710]

Chcesz, to sobie licz.

Lewa strona równania ma postać \(\displaystyle{ |z-(-1-i)|}\) czyli jest to odległość \(\displaystyle{ z}\) od punktu \(\displaystyle{ (-1,-1)}\) płaszczyzny. Podobnie prawa strona określa odległość \(\displaystyle{ z}\) od \(\displaystyle{ -3}\) czyli od punktu \(\displaystyle{ (-3,0)}\). Punkty o takich samych odległościach od obu tych punktów leżą na symetralnej odcinka o końcach \(\displaystyle{ (-1,-1)}\) i \(\displaystyle{ (-3,0)}\). Jej równanie to \(\displaystyle{ y=2x+\frac{7}{2}}\). Tak więc równanie spełniają wszystkie punkty postaci \(\displaystyle{ z=x+\left(2x+\frac{7}{2}\right)i,}\) gdzie \(\displaystyle{ x\in\RR}\).

[kinia7]

\(\displaystyle{ y=2x+3}\)?

Punkty o takich samych odległościach od obu tych punktów leżą na symetralnej odcinka o końcach \(\displaystyle{ (-1,-1)}\) i \(\displaystyle{ (-3,0)}\). Jej równanie to \(\displaystyle{ y=2x+4}\).

Mnie równanie symetralnej wyszło \(\displaystyle{ :\ \ \ y=2x+\frac72}\)

[szw1710]

kinia7, masz rację - zapomniałem dodać \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) do \(\displaystyle{ y}\) pisząc równanie tej prostej. Dziękuję. W moim oryginalnym wpisie poprawiłem błąd, dobrze że cytujesz - wszystko jest jasne.